中考數(shù)學(xué) 專題聚焦 第2章 解答題 跟蹤突破7 簡(jiǎn)單的全等、相似及特殊四邊形試題1

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專題跟蹤突破7　簡(jiǎn)單的全等、相似及特殊四邊形 1．(2016懷化)如圖，已知AD＝BC，AC＝BD. (1)求證：△ADB≌△BCA； (2)OA與OB相等嗎？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由． (1)證明：∵在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA(SSS) (2)解：OA＝OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB 2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262153)(2016黃岡)如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC的中點(diǎn)，對(duì)角線AC分別交BE，DF于點(diǎn)G，H.求證：AG＝CH. 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，∵E，F(xiàn)分別為AD，BC邊的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC，∴DE∥BF，DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH 3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262154)(2016長(zhǎng)春)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF＝BE，BF與CD交于點(diǎn)G. (1)求證：BD∥EF； (2)若＝，BE＝4，求EC的長(zhǎng)． (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF (2)解：∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴＝，∴CE＝＝4＝6 4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262155)(2016北京)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN. (1)求證：BM＝MN； (2)∠BAD＝60，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長(zhǎng)． (1)證明：在△CAD中，∵M(jìn)，N分別是AC，CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD，MN＝AD，在Rt△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM (2)解：∵∠BAD＝60，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30，由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60，∵M(jìn)N∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝ 5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262156)(2016大慶)如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E. (1)求證：AG＝CG； (2)求證：AG2＝GEGF. 證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD，在△ADG與△CDG中，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠EAG＝∠DCG，∴AG＝CG (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GEGF 6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262157)(2016內(nèi)江)如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF＝BD，連接BF. (1)求證：D是BC的中點(diǎn)； (2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論． (1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD，∴BD＝CD，∴D是BC中點(diǎn) (2)解：若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90，∴平行四邊形AFBD是矩形 7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262067)(2016威海)如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90，AB＝AC，CB＝CD.延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使AE＝AC；延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使BF＝BC.連接AD，AF，DF，EF.延長(zhǎng)DB交EF于點(diǎn)N. (1)求證：AD＝AF； (2)求證：BD＝EF； (3)試判斷四邊形ABNE的形狀，并說(shuō)明理由． (1)證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90，∴∠ABC＝∠ACB＝45，∴∠ABF＝135，∵∠BCD＝90，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，在△ABF和△ACD中，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD＝AF (2)證明：由(1)知，AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90，∴∠EAB＝∠BAC＝90，∴∠EAF＝∠BAD，在△AEF和△ABD中，∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD＝EF (3)解：四邊形ABNE是正方形；理由如下：∵CD＝CB，∠BCD＝90，∴∠CBD＝45，由(2)知，∠EAB＝90，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90，∴四邊形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四邊形ABNE是正方形 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：01262068)(2016泰安)如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，AD⊥AE. (1)求證：AC2＝CDBC； (2)過(guò)E作EG⊥AB，并延長(zhǎng)EG至點(diǎn)K，使EK＝EB. ①若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，求證：FH⊥GH； ②若∠B＝30，求證：四邊形AKEC是菱形． 證明：(1)∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB.又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC＋∠CAE＝90，∠CAE＋∠EAB＝90，∴∠DAC＝∠EAB.又∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CDBC (2)①連接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90，點(diǎn)H，D關(guān)于AC對(duì)稱，∴AH⊥BC.∵EG⊥AB，AE＝BE，∴點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴HG＝AG，∴∠GAH＝∠GHA.∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90，∴FH⊥GH ②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B＝30，∴AC＝BC＝EB＝EC.又EK＝EB，∴EK＝AC，即AK＝KE＝EC＝CA，∴四邊形AKEC是菱形