《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 5 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 5 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法
[基礎(chǔ)題組練]
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：選C.當(dāng)n＝1時(shí)，21＝2＝12＋1，
當(dāng)n＝2時(shí)，22＝4<22＋1＝5，
當(dāng)n＝3時(shí)，23＝8<32＋1＝10，
當(dāng)n＝4時(shí)，24＝16<42＋1＝17，
當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32>52＋1＝26，
當(dāng)n＝6時(shí)，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0應(yīng)取5.
2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1
2、)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是( )
A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立
解析：選D.當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當(dāng)k＝n時(shí)，f(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時(shí)，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時(shí)，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)≥k＋1也成立．
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝
3、k的基礎(chǔ)上加上( )
A. B．－
C.－ D.＋
解析：選C.因?yàn)楫?dāng)n＝k時(shí)，左端＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上－.
4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：選A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f
4、(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
5．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是________．
解析：由n∈N*，n>1知，n取第一個(gè)值n0＝2，
當(dāng)n＝2時(shí)，不等式為1＋＋
5、<2.
答案：1＋＋<2
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________．
解析：不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填.
答案：
8．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________________．
答案：＋＋…＋＋>－
9．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，
右邊＝(－1)0×＝1，左邊＝右邊，原等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N
6、*)時(shí)等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k·.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，
由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
10．已知整數(shù)p>1，證明：當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，(1＋x)p>1＋px.
證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)p＝2時(shí)，(1＋x)2＝1＋2x＋x
7、2>1＋2x，原不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)p＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
則當(dāng)p＝k＋1時(shí)，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以當(dāng)p＝k＋1時(shí)，原不等式也成立．
綜合①②可得，當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p>1，
不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
[綜合題組練]
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式·…·>均成立．
證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝.
因?yàn)樽筮?右邊，所以不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，
8、
即·…·>.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
·…·
>·＝＝
>＝＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由①②知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
2．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：00，即xk＋1>0.
又因?yàn)閤k＋1－1＝<0，所以0
9、1.
綜合①②可知0
10、S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
試猜測(cè)S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解：由題意知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14；
當(dāng)n＝2時(shí)，S1＋S3＝16＝24；
當(dāng)n＝3時(shí)，S1＋S3＋S5＝81＝34；
當(dāng)n＝4時(shí)，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.
6
2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 5 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）
