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1、壓軸題提分練(四)
1．(2018·貴陽模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，點P為橢圓C上的動點，若|PF|的最大值和最小值分別為2＋和2－.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設不過原點的直線l與橢圓C 交于P，Q兩點，若直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的最大值．
解析：(1)由已知得： ?，
∴b2＝4－3＝1，
∴橢圓方程為＋y2＝1.
(2)設l：y＝kx＋b(易知l存在斜率，且b≠0)，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)
由條件知：k2＝＝
＝＝k2＋
∴＝0，∴x1＋x2＝－，①
?(4k2＋1)x2＋8kb
2、x＋4b2－4＝0，
∵Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，
∴4k2＋1－b2＞0，
∴x1＋x2＝－，②
聯立①②得：－＝－，∴4k2＝1，
|PQ|＝
＝＝＝.
點O到直線l的距離d＝＝，
∴S△OPQ＝|PQ|·d＝××
＝|b|
＝＝.
∵4k2＝1且4k2＋1－b2＞0，
∴0＜b2＜2，
所以當??直線l為：y＝±x±1時，
(S△OPQ)max＝1.
2．(2018·保定模擬)已知函數f(x)＝ax－ln x．(a是常數，且a＞0)
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；
(2)當y＝f(x)在x＝1處取得極值時，若關于x的方程f(
3、x)＋2x＝x2＋b在上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．
解析：(1)由已知函數f(x)的定義域為x＞0，f′(x)＝a－＝，
由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜.
所以函數f(x)的單調減區(qū)間為 ，單調增區(qū)間為.
(2)由題意，得f′(1)＝0.
∴a＝1，
∴f(x)＝x－ln x，
∴f(x)＋2x＝x2＋b，即x－ln x＋2x＝x2＋b.
∴x2－3x＋ln x＋b＝0，
設g(x)＝x2－3x＋ln x＋b(x＞0)，則g′(x)＝2x－3＋＝＝.
當x∈時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：
x
1
(1,2)
2
g′(x)
0
－
0
＋
g(x)
b－
－ln2
b－2
b－2＋
ln 2
∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有兩個不相等的實數根，
∴ ∴，
∴＋ln 2≤b＜2即b∈.
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2019高考數學二輪復習 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練（四）理
