2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破19 概率、隨機(jī)變量及其分布列 理

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1、 必考問題19　概率、隨機(jī)變量及其分布列 　(2012·湖南)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客 數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)

2、立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率) 答案：解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9. (2)記A為事件“該顧

3、客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝. 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為. 結(jié)合事件的互斥性、對(duì)立性、獨(dú)立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望和方差的求解及其實(shí)際應(yīng)用． 本部分復(fù)習(xí)要

4、從整體上，知識(shí)的相關(guān)關(guān)系上進(jìn)行．離散型隨機(jī)變量問題的核心是概率計(jì)算，而概率計(jì)算又以事件的獨(dú)立性、互斥性、對(duì)立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關(guān)系. 必備知識(shí) 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 若A、B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(A)＝1. 相互獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) (1)若 A1，A2，…，An是相互獨(dú)立事件，則P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． (2)如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，事件A不發(fā)生的概率為1－p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為： Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k

5、. 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 (1)主干知識(shí)：隨機(jī)變量的可能取值，分布列，期望，方差，二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布． (2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…； ②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…； ③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ④二項(xiàng)分布：ξ～B(n，p)，則P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 正態(tài)分布 (1)若X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，則可表示為X～N(μ，σ2)． (2)N(μ，σ2

6、)的分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1. (3)當(dāng)X～N(μ，σ2)時(shí)，0.683＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，0.954＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，0.997＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)． 以上三個(gè)概率值具有重要的應(yīng)用，要熟記，不可混用． 必備方法 1．在解含有相互獨(dú)立事件的概率題時(shí)，首先把所求的隨機(jī)事件分拆成若干個(gè)互斥事件的和，其次將分拆后的每個(gè)事件分拆為若干個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積，這兩個(gè)事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關(guān)的概率值進(jìn)行計(jì)算的問題了，如果某些相互獨(dú)立事件符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，就把這部分歸結(jié)為用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，用獨(dú)立重

7、復(fù)試驗(yàn)概型的概率計(jì)算公式解答． 2．相當(dāng)一類概率應(yīng)用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實(shí)際背景后得出來的，我們?cè)诮忸}時(shí)就要把實(shí)際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對(duì)照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)． 3．求解一般的隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計(jì)算． 互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率在求隨機(jī)變量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多來源于生活，考查閱讀理解能力及對(duì)概率知識(shí)的

8、應(yīng)用能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2012·陜西)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間/分 1 2 3 4 5 頻率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)． (1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率； (2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第一

9、個(gè)顧客需1分鐘，第二個(gè)顧客需3分鐘；第一個(gè)顧客需3分鐘，第二個(gè)顧客需1分鐘；兩個(gè)顧客都需要2分鐘．(2)①找出第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)X的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；②求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解． 解　設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分

10、鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘． 所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)法一　X所有可能的取值為0,1,2. X＝0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘， 所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0

11、.4＝0.49； X＝2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘， 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 法二　X的所有可能取值為0,1,2. X＝0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘， 所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5； X＝2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘， 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2

12、)＝0.49； 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 在概率的計(jì)算中，一般是根據(jù)隨機(jī)事件的含義，把隨機(jī)事件分成幾個(gè)互斥事件的和，每個(gè)小的事件再分為幾個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積，然后根據(jù)相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算． 【突破訓(xùn)練1】 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知前2局中，甲、乙各勝1局． (1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率； (2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．

13、解　記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5， Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4. (1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽． A＝A3·A4＋B3·B4. 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. (2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利． 因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 P

14、(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 以實(shí)際生活或生產(chǎn)為背景來考查二項(xiàng)分布是高考的“永久”熱點(diǎn)，難點(diǎn)是透過問題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布，準(zhǔn)確把握獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)是解答二項(xiàng)分布問題的關(guān)鍵．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2012·天津)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地

15、均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|.求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)利用二項(xiàng)分布的概率公式求解；(2)利用二項(xiàng)分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學(xué)期望． 解　依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概

16、率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ci4－i. (1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率 P(A2)＝C2·2＝. (2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝. 所以，這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0,2,4. 由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P

17、(A4)＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P ∴ξ的期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：①是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；②隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)． (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 【突破訓(xùn)練2】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審．假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”給予5萬元

18、的資助；若未能獲得“支持”，則不予資助，求： (1)該公司的資助總額為零的概率； (2)該公司的資助總額超過15萬元的概率． 解　(1)設(shè)A表示“資助總額為零”這個(gè)事件，則P(A)＝6＝. (2)設(shè)B表示“資助總額超過15萬元”這個(gè)事件，則P(B)＝15×6＋6×6＋6＝. 　　　 　　　與方差 以考生比較熟悉的實(shí)際應(yīng)用問題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨(dú)立事件及獨(dú)立重復(fù)事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查對(duì)隨機(jī)變量的識(shí)別及概率計(jì)算的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2012·新課標(biāo)全國(guó))某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元

19、的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． (ⅰ)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差； (ⅱ)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是1

20、7枝？請(qǐng)說明理由． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)根據(jù)日需求量分類求出函數(shù)解析式；(2)(ⅰ)根據(jù)當(dāng)天的需求量，寫出相應(yīng)的利潤(rùn)，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差．(ⅱ)比較兩種情況的方差或數(shù)學(xué)期望即可． 解　(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí)，利潤(rùn)y＝80.當(dāng)日需求量n＜16時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為 y＝(n∈N)． (2)(ⅰ)X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學(xué)期望

21、為 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差為 D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. (ⅱ)答案一： 花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差為 D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－

22、76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較?。硗?，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花． 答案二： 花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)＜E(

23、Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花． (1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率公式求概率． (2)求隨機(jī)變量期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可直接使用公式法求解． 【突破訓(xùn)練3】 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立． (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； (2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)

24、．求X的期望． 解　記A表示事件：該地的1位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)； B表示事件：該地的1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)； C表示事件：該地的1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X～B(100,0.2)，即X服從二項(xiàng)分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)與二項(xiàng)分布的概率公式的“巧合” 一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試

25、驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)＝p＞0.我們將這樣的試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q.由于試驗(yàn)的獨(dú)立性，n次試驗(yàn)中，事件A在某指定的k次發(fā)生，而在其余n－k次不發(fā)生的概率為pkqn－k.而在n次試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.它恰好是(q＋p)n的二項(xiàng)展開式中的第k＋1項(xiàng)． 【示例】? (2012·四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A

26、和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． [滿分解答]　(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.(4分) (2)由題意，P(ξ＝0)＝C3＝， P(ξ＝1)＝C2·＝， P(ξ＝2)＝C·2＝， P(ξ＝3)＝C3＝.(8分) 所以，隨機(jī)變量ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望： E(ξ)＝0×＋1×＋2×

27、＋3×＝. (12分) 老師叮嚀：對(duì)于(1)，依據(jù)題意及相互對(duì)立的兩個(gè)事件的概率間的關(guān)系列出相關(guān)的方程，通過解方程得出結(jié)論；對(duì)于(2)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的相關(guān)概率公式列出相應(yīng)的分布列，進(jìn)而利用期望的定義公式通過計(jì)算得出期望值. 【試一試】 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． (1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望． (2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率． 解　(1)ξ的可能取值為－300，－100,100

28、,300. P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008， P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096， P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(ξ＝300)＝0.83＝0.512. 所以ξ的概率分布為 ξ －300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根據(jù)ξ的概率分布，可得ξ的期望 Eξ＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. (2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896. 11