2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學歸納法練習 理（含解析）新人教A版

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1、第49講　數(shù)學歸納法 1．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步應驗證n等于(D) A．1 B．2 C．3 D．4 2．用數(shù)學歸納法證明：當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除，第二步假設(shè)應寫成(D) A．假設(shè)n＝k (k為正奇數(shù))時命題成立，再推證n＝k＋1時命題成立 B．假設(shè)n＝2k＋1時 (k∈N*)命題成立，再推證n＝2k＋2時命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1時 (k∈N*)命題成立，再推證n＝2k＋3時命題成立 D．假設(shè)n＝2k－1時 (k∈N*)命題成立，再推證n＝2k＋1時命題成立 k為正奇數(shù)時，k＋1為正偶數(shù)，A不正確； 2

2、k＋1為正奇數(shù)時，2k＋2為正偶數(shù)，B不正確； 2k＋1與2k＋3 (k∈N*)雖為相鄰兩正奇數(shù)，但1未包含其中，故C也不正確，應選D. 3．平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點．設(shè)k條直線的交點個數(shù)為f(k)，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系為(D) A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 D．f(k＋1)＝f(k)＋k 當k條直線再增加一條時，這條直線與前k條直線都有交點，故當增加一條直線時，就增加了k個交點，即f(k＋1)＝f(k)＋k. 4．設(shè)f(n)＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f

3、(n＋1)－f(n)等于(D) A. B. C.＋ D.－ 因為f(n)為從n＋1到2n之間的連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和， 所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， 故f(n＋1)－f(n)＝＋－ ＝－. 5．用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋1)，第一步要驗證的不等式是　1＋＋<2　. 6．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2an(n∈N*)，且a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an＝　　. 用不完全歸納法可得an＝. 也可直接求出： 因為Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)， 兩式相減得an＝n2an－(n－1)2an－1，

4、即＝(n≥2)， 故an＝a1···…·＝. 7．設(shè)a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式； (2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． (1)因為a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝. 猜想：an＝. (2)證明：①易知，n＝1時，猜想正確． ②假設(shè)n＝k時，猜想正確，即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝ ＝ ＝ ＝， 這說明，n＝k＋1時猜想也正確． 由①②可知，對于任意n∈N*，都有an＝成立． 8．某個命題與正整數(shù)n有關(guān)

5、，若n＝k (k∈N*)時該命題成立，那么可推得當n＝k＋1時命題也成立，現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得(C) A．當n＝6時該命題不成立 B．當n＝6時該命題成立 C．當n＝4時該命題不成立 D．當n＝4時該命題成立 如果n＝4時命題成立，那么由題設(shè)，可推得n＝5時命題也成立，上面的判斷作為一個命題，它的逆否命題是：如果n＝5時命題不成立，那么n＝4時命題也不成立，依據(jù)原命題等價于逆否命題，即原命題成立，則逆否命題也一定成立，應選C. 9．平面上有k個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不交于同一點，則在k個圓的基礎(chǔ)上再增加一個圓，k＋1個圓將平面分成的區(qū)域在

6、k個圓的基礎(chǔ)上增加　2k　塊． 當n＝k＋1時，平面上增加了第k＋1個圓，它與原來的k個圓的每一個圓都相交于兩個不同的點，共2k個交點，這2k個交點將第k＋1個圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，故區(qū)域共增加了2k塊． 10．設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Sn. (1)求Sn； (2)問是否存在自然數(shù)n0，使得對n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2－？若存在，求最小的自然數(shù)n0，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由． (1)Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，② 由①－②得 Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－－. 所以Sn＝2－－＝2－. (2)要Sn>2－，只需<，亦即<1. ①當n＝6時，＝＝<1成立． ②假設(shè)當n＝k(k≥6)時不等式成立，即<1. 則當n＝k＋1時， ＝· <<1. 由①②可知，當n>5時，<1，即Sn>2－. 而當n＝5時，＝>1，從而Sn<2－. 因此，存在最小的自然數(shù)n0＝5，對n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2－成立． 4