2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練2 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 新人教B版第三冊

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1、專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二)　向量的數(shù)量積與三角恒等變換 (建議用時(shí)：60分鐘) [合格基礎(chǔ)練] 一、選擇題 1.若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3，則b等于(　　) A．(－3,6)　 B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) A　[設(shè)b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3，則＝3，k＝－3，b＝(－3,6)．] 2.若a，b是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是(　　) A．　　 　B．　　 　C．　　 　D． B　[∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0, ∴a2＝b2，|a|＝|b|， 又∵c

2、os θ＝＝＝，∴θ＝.] 3.函數(shù)f(x)＝cos 2x＋2sin x的最小值和最大值分別為(　　) A．－3,1　 B．－2,2　 C．－3，　 D．－2， C　[f(x)＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－22＋，sin x∈[－1,1]， ∴f(x)max＝， f(x)min＝－3.] 4．平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3), 若點(diǎn)C滿足＝α＋β， 其中α，β∈R且α＋β＝1, 則點(diǎn)C的軌跡方程為(　　) A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 D　[設(shè)C(x，y

3、)，則＝(x，y)，＝α＋β ＝α(3,1)＋(1－α)(－1,3)＝(3α，α)＋(α－1,3－3α) ＝(4α－1,3－2α)，∴x＝4α－1，y＝3－2α， 消去α得x＋2y－5＝0.] 5．函數(shù)y＝sin xcos x＋cos 2x－的圖像的一個(gè)對稱中心為(　　) A．　　 B． C． D． B　[y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin2x＋－，令2x＋＝kπ，(k∈Z) x＝－(k∈Z)，當(dāng)k＝2時(shí)，x＝，∴函數(shù)圖像的一個(gè)對稱中心為.] 6．設(shè)向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t為實(shí)數(shù)，則|a－t

4、b|的最小值是(　　) A．　 B．1　 C．　 D．1＋ A　[|a－tb|＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝，|a－tb|的最小值為.] 二、填空題 7．給出下列四個(gè)命題，其中正確的序號是________． ①非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角是30°；②若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形；③若單位向量a，b的夾角為120°，則當(dāng)|2a＋xb|(x∈R)取最小值時(shí)x＝1；④ 若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ ABC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞－. ①②③　[①中，令＝a，＝b.以，為鄰邊作平行四邊形OAC

5、B．∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四邊形OACB為菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a與a＋b的夾角是30°， 故①正確．②中，∵(＋)·(－)＝0，∴||2＝||2， 故△ABC為等腰三角形．故②正確． ③中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2 ＝4＋4xcos 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3， 故|2a＋xb|取最小值時(shí)x＝1.故③正確． ④中，∵＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC為銳角，∴·＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又當(dāng)與同向共線時(shí)

6、，m＝，故當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，m的取值范圍是m＞－且m≠.故④不正確．] 8．若點(diǎn)P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，則sin 2α＋2cos 2α＝________. －2　[由題意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin2α ＝＝＝ ＝－2.] 9．若＝2 020，則＋tan 2α＝________. 2 020　[＋tan 2α＝＋＝＝＝ ＝＝2 020.] 三、解答題 10．已知△ABC的內(nèi)角B滿足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b滿足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝

7、5，θ為a，b的夾角．求sin(B＋θ)． [解]　2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0,4cos2B－8cos B＋3＝0， 得cos B＝，sin B＝，cos θ＝＝－， sin θ＝， sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝. [等級過關(guān)練] 1.已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，則tan(α＋β)等于(　　) A．－　 B．－2　 C．－1　 D． B　[∵sin 2α＝，且＜2α＜π，∴cos 2α＝－， ∴tan 2α＝－， ∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2. 2.設(shè)0≤θ<2π，已知兩個(gè)

8、向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長度的最大值是(　　) A．　 B．　 C．3　 D．2 C　[∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴||＝＝≤3. 3.函數(shù)y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，則實(shí)數(shù)a＝________，b＝________. 1　±2　[y＝acos2x＋bsin xcos x＝sin 2x＋·cos 2x＋＝sin(2x＋φ)＋，＋＝2，－＋＝－1，a＝1，b＝±2.] 4．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任

9、意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值是________． －　[因?yàn)辄c(diǎn)O是A，B的中點(diǎn)，所以＋＝2， 設(shè)||＝x，則||＝1－x(0≤x≤1)． 所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x) ＝2－. 所以當(dāng)x＝時(shí)，(＋)·取到最小值－.] 5．已知函數(shù)f(x)＝a(cos 2x＋sin xcos x)＋b. (1)當(dāng)a＞0時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)a＜0且x∈時(shí)，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值． [解]　f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b ＝sin＋＋b. (1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，(k∈Z)，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin2x＋≤1， f(x)min＝3，f(x)max＝4， ∴a＝2－2，b＝4. 5