2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何練習(xí) 新人教A版選修2-1

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1、第三章 空間向量與立體幾何 (時間：120分鐘，滿分：150分) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，則線段AB的中點坐標(biāo)和||是(　　) A.， B.， C.， D.， 解析：選A.設(shè)P(x，y，z)是AB中點，則 ＝(＋)＝[(3，2，1)＋(1，0，4)] ＝， dAB＝||＝＝. 2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)＋b－c　　　　　　　　 B．a(chǎn)－b＋c C．－a＋b＋c D.－a＋b－c 解析：選D.如圖，

2、＝－＝－－＝－－＝b－a－c. 3．平面α的法向量u＝(1，2，－1)，平面β的法向量v＝(λ2，2，8)，若α⊥β，則λ的值是(　　) A．2 B．－2 C．±2 D.不存在 解析：選C.α⊥β?u⊥v?u·v＝0?λ2＋4－8＝0?λ＝±2. 4．在空間四邊形ABCD中，若向量＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則的坐標(biāo)為(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D.(－5，2，－1) 解析：選B.取AC中點M，連接ME，MF，則＝＝，＝＝，所以＝－＝(－2，－3，－3)，故選B.

3、 5．已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，則·＝(　　) A．1 B．－1 C. D.－ 解析：選B.如圖所示，＝，所以·＝·(－)＝－×2×2cos 60°＝－1，故選B. 6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則與直線CE垂直的直線是(　　) A．AC B．BD C．A1D D.A1A 解析：選B.以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)．設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以＝

4、，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(0，0，－1)．顯然·＝－＋0＝0，所以⊥，即CE⊥BD. 7．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，則x，y的值為(　　) A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5 C．x＝7，y＝5 D.x＝7，y＝8 解析：選A.因為a∥b且a≠0， 所以b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp. 又因為m，n，p不共面，所以＝＝， 所以x＝－13，y＝8. 8．已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為

5、O1，則·的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D.2 解析：選C.由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，則·＝[＋(＋)]·(＋)＝(＋)2＝(2＋2)＝1. 9．已知直線l的方向向量為n＝(1，0，2)，點A(0，1，1)在直線l上，則點P(1，2，2)到直線l的距離為(　　) A. B. C. D.2 解析：選A.過P點作PH⊥l于H點， 則＝＋， 由∥n，可設(shè)＝λn＝(λ，0，2λ)． 所以＝(－1，－1，－1)＋(λ，0，2λ)＝(λ－1，－1，2λ－1)， 由⊥n，得 λ－1＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝. 所以＝. 因此點P到l的距離為

6、||＝＝，選A. 10．在四棱錐P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，則這個四棱錐的高h(yuǎn)＝(　　) A．1 B．2 C．13 D.26 解析：選B.設(shè)平面ABCD的法向量為n＝(x，y，z)，則，即，設(shè)y＝4，則n＝，所以cos〈n，〉＝＝＝－，所以h＝×2＝2，故選B. 11.如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足＝－＋，則||2的值為(　　) A. B．3 C. D. 解析：選D.由題可知||＝1，||＝1，||＝. 〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°. 所以||2＝(－＋)2＝2

7、＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝. 12．三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足：＝λ，則直線PN與平面ABC所成角θ取最大值時λ的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A. 如圖，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則P(λ，0，1)，N，＝(－λ，，－1)．易得平面ABC的一個法向量n＝(0，0，1)，則直線PN與平面ABC所成的角θ滿足：sin θ＝|cos〈，n〉|＝，于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而θ∈，所以當(dāng)sin θ最大時，θ最大．

8、所以當(dāng)λ＝時，sin θ最大，為，同時直線PN與平面ABC所成的角θ取到最大值． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分． 13．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則·＝________． 解析：·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2. 答案：a2 14．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為________． 解析：設(shè)平面xOz的法向量為n＝(0，t，0)(t≠0)．又＝(1，3，)，所以cos〈n，〉＝＝，因為〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝ ＝. 答案：

9、15．點P是底邊長為2，高為2的正三棱柱表面上的動點，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則·的取值范圍是__________． 解析：由題意知內(nèi)切球的半徑為1，設(shè)球心為O，則·＝(＋)·(＋)＝＋·(＋)＋·＝||2－1.因為1≤||≤，所以·∈[0，4]． 答案：[0，4] 16．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE＝________． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0，a，0)．設(shè)點E的坐標(biāo)為(

10、a，0，z)，則＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)．由⊥，得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a，即AE＝a或2a. 答案：a或2a 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB，AD的夾角都是60°，N是CM的中點，設(shè)a＝，b＝，c＝，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求BN的長． 解：＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋[－(＋)] ＝－＋＋. 所以＝－a＋b＋c， ||2＝2＝ ＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝

11、， 所以||＝，即BN的長為. 18．(本小題滿分12分)四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N分別是PC、AB的中點，求證：MN⊥平面PCD. 證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)PA＝AD＝a，AB＝b， 則P(0，0，a)，D(0，a，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，N，M， 所以＝，＝(b，0，0)，＝(b，a，－a)， 所以·＝－＋＝0，·＝0， 所以⊥，⊥，即MN⊥PC，MN⊥DC，又因為PC∩DC＝C，MN?平面PCD，所以MN⊥平面PCD. 19．(本小題滿分12分)如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，

12、AD＝4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)若點F為BE的中點，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值． 解：(1)證明：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB，即BD2＝4＋16－16×＝12，所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，所以△ABD和△EBD均為直角三角形，所以ED⊥DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交線，且平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD， 所以ED⊥平面ABD. 又AB?平面ABD，所以AB⊥DE. (2)由(1)知∠ABD＝∠CDB＝90°，

13、以D為坐標(biāo)原點，DB，DC，DE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，－2，0)，F(xiàn)(，0，1)，所以＝(2，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(－，2，1)． 設(shè)平面ADE的法向量為n＝(x，y，z)， 則有 即 令x＝1，則y＝.又z＝0， 所以n＝(1，，0)． 設(shè)直線AF與平面ADE所成的角為α，則有sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4

14、，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點． (1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值； (2)若F是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值． 解：(1)以G點為原點，GB，GC，GP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，2，－4)． 因為cos〈，〉＝＝＝， 所以GE與PC所成角的余弦值為. (2)因為＝＝，所以D. 設(shè)F(0，y，z)，則＝(0，y，z)－＝. 因為⊥，所以·＝0，即·(0，2，0)＝2y－3＝0，所以y＝. 又點F在PC上，所以

15、＝λ，即＝λ(0，2，－4)，所以z＝1，故F， 所以＝，＝，所以＝＝3. 21．(本小題滿分12分)在△A′BC中，A′B＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，以A′C的中線BD為折痕，將△A′BD沿BD折起，構(gòu)成二面角A-BD-C，在平面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且CE＝，連接DE，AE，AC，如圖所示． (1)求證：CE∥平面ABD； (2)若二面角A-BD-C的大小為90°，求二面角B-AC-E的余弦值． 解：(1)證明：由AB＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，得BC＝4，所以△A′BC為等腰直角三角形，又D為A′C的中點，所以BD⊥A′C. 所以折起后BD⊥CD.又C

16、E⊥CD，所以CE∥BD， 因為CE?平面ABD，BD?平面ABD，所以CE∥平面ABD. (2)由二面角A-BD-C的大小為90°，AD⊥BD，得AD⊥平面BCD，由(1)知BD⊥CD， 于是以D為坐標(biāo)原點，分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)F為AC的中點，連接DF，則DF⊥AC，且DF＝2. 因為CE⊥CD，AD⊥平面BCD，所以CE⊥平面ACD，所以DF⊥CE， 所以DF⊥平面ACE. 易求得BD＝CD＝AD＝2，所以D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，F(xiàn)(0，，)． 所以平面ACE的一

17、個法向量為＝(0，，)． 又＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)， 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0， 所以x＝y(tǒng)＝z，取n＝(1，1，1)為平面ABC的一個法向量． 所以cos〈n，〉＝＝， 根據(jù)圖形可知二面角B-AC-E的余弦值為－. 22．(本小題滿分12分)如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝. (1)若M為PA的中點，求證：AC∥平面MDE； (2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值； (3)在線段PC上是否存在一點Q(除去端點)，

18、使得平面QAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為？ 解：(1)證明：如圖，在矩形PDCE中，設(shè)PC交DE于點N，則點N為PC的中點． 連接MN. 在△APC中，點M為PA的中點，點N為PC的中點，所以AC∥MN. 又MN?平面MDE，AC?平面MDE，所以AC∥平面MDE. (2)由∠ADC＝90°，得AD⊥CD， 由平面PDCE⊥平面ABCD，且平面PDCE∩平面ABCD＝CD，得AD⊥平面PDCE， 所以AD⊥PD. 在矩形PDCE中，PD⊥CD， 則DA，DC, DP兩兩垂直． 以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D

19、(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(1，1，0)，C(0，2，0)， 所以＝(－1，0，)，＝(0，－2，)，＝(－1，1，0)． 設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)， 則，取n＝(1，1，)． 設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，則sin θ＝＝. 所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為. (3)假設(shè)存在點Q滿足條件，則可設(shè)＝λ(0<λ<1)，得Q(0，2－2λ，λ)． 又＝(1，0，0)，＝(0，2－2λ，λ)， 設(shè)平面QAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則 由， 令y1＝λ，則n1＝(0，λ，2λ－2)． 由平面QAD與平面PBC所成的銳二面角為， 得cos ＝＝＝， 所以λ＝或λ＝1(舍去)， 所以所求點Q為線段CP上靠近點C的一個三等分點，即在線段PC上存在點Q滿足條件． 12