數(shù)學(xué)總第一章 數(shù)與式 第二節(jié) 整式與因式分解

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1、第二節(jié)整式與因式分解知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一 代數(shù)式代數(shù)式 1 1代數(shù)式代數(shù)式用用 _把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，我把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式特別地，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母們稱這樣的式子為代數(shù)式特別地，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式也是代數(shù)式運(yùn)算符號運(yùn)算符號2 2代數(shù)式的值代數(shù)式的值用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)中的運(yùn)算用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)中的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算得出的結(jié)果關(guān)系，計(jì)算得出的結(jié)果知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二 整式的有關(guān)概念整式的有關(guān)概念 2 2同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的 _ _ 也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)也相同的

2、項(xiàng)叫做同類項(xiàng)指數(shù)指數(shù)確定代數(shù)式的同類項(xiàng)要嚴(yán)格按照定義中的兩個(gè)條件，即字確定代數(shù)式的同類項(xiàng)要嚴(yán)格按照定義中的兩個(gè)條件，即字母相同，指數(shù)一樣特別地，所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)母相同，指數(shù)一樣特別地，所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)3 3合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)做合并同類項(xiàng)其法則是：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的其法則是：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的 _相加，相加，字母和字母的字母和字母的 指數(shù)指數(shù) 不變不變系數(shù)系數(shù)知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三 整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算 1 1冪的運(yùn)算法則冪的運(yùn)算法則要牢記冪的運(yùn)算公式，區(qū)分開冪的乘方和同底數(shù)冪相乘要牢記冪的運(yùn)算公式，

3、區(qū)分開冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則注意不同底數(shù)冪不能按照冪的運(yùn)算法則運(yùn)的運(yùn)算法則注意不同底數(shù)冪不能按照冪的運(yùn)算法則運(yùn)算，需先轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪再運(yùn)算，如算，需先轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪再運(yùn)算，如4 4n n2 2m m(2(22 2) )n n2 2m m2 22n2n2 2m m2 22n2nm m. .2.2.整式的加減整式的加減(1)(1)一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號就先去括號，一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng)然后再合并同類項(xiàng)(2)(2)去括號法則去括號法則如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號

4、的符號與原來的符號 _，如，如a a(b(bc)c)a ab bc c，a a(b(bc)c)a ab bc.c.如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號的符號與原來的符號 _ _ ，如，如a a(b(bc)c)a ab bc c，a a(b(bc)c)a ab bc.c.相同相同相反相反3 3整式的乘法整式的乘法(1)(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因

5、式，如指數(shù)作為積的一個(gè)因式，如3xy3xy4x4x2 2z z12x12x3 3yz.yz.(2)(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，如一項(xiàng)，再把所得的積相加，如a a(b(bc cd)d)ababacacad.ad.(3)(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加，如一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加，如(a(ab)(cb)(cd)d)acacadadbcbcbd.bd.4 4整式的除法整式的除法知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四 因式

6、分解因式分解 1 1因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè) _ _ 的積的的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式整式整式3 3因式分解的方法因式分解的方法(1)(1)提公因式法：提公因式法：mamambmbmcmcm(am(ab bc)c)確定公因式的一般方法：先取系數(shù)，取多項(xiàng)式中各項(xiàng)系確定公因式的一般方法：先取系數(shù)，取多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；再取字母，取各項(xiàng)中的共同的字母；數(shù)的最大公因數(shù)；再取字母，取各項(xiàng)中的共同的字母；最后取指數(shù)，取相同字母的指

7、數(shù)中最小的數(shù)最后取指數(shù)，取相同字母的指數(shù)中最小的數(shù)(2)(2)公式法：公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2b b2 2 _；完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab2abb b2 2 _(a(ab)(ab)(ab)b)(a(ab)b)2 2考點(diǎn)一考點(diǎn)一 代數(shù)式代數(shù)式 (5(5年年3 3考考) ) (2016 (2016河北河北) )若若mnmnm m3 3，則，則2mn2mn3m3m5nm5nm1010 . . 【分析】【分析】 原式合并后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值原式合并后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值解答代數(shù)式求值問題，一般有兩種方法：直接代入求值解答代數(shù)式求值問題，一般

8、有兩種方法：直接代入求值和整體代入求值直接代入求值時(shí)，要注意代數(shù)式的符和整體代入求值直接代入求值時(shí)，要注意代數(shù)式的符號問題；整體代入求值時(shí)，關(guān)鍵是把要求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化號問題；整體代入求值時(shí)，關(guān)鍵是把要求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為已知代數(shù)式的形式為已知代數(shù)式的形式1 1(2013(2013河北河北) )若若x x1 1，則，則|x|x4|4|( )( )A A3 B3 B3 C3 C5 D5 D5 52 2(2017(2017長安區(qū)二模長安區(qū)二模) )若若x x2y2y3 3，則代數(shù)式，則代數(shù)式3 32x2x4y4y _._.A A9 9考點(diǎn)二考點(diǎn)二 冪的運(yùn)算冪的運(yùn)算 (5(5年年3 3考考) ) (2016

9、(2016河北河北) )計(jì)算正確的是計(jì)算正確的是( )( )A A( (5)5)0 00 B0 Bx x2 2x x3 3x x5 5C C(ab(ab2 2) )3 3a a2 2b b5 5 D D2a2a2 2a a1 12a2a 【分析】【分析】 根據(jù)零指數(shù)冪、冪的乘方和積的乘方、單項(xiàng)根據(jù)零指數(shù)冪、冪的乘方和積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可講：混淆冪的運(yùn)算法則講：混淆冪的運(yùn)算法則在冪的運(yùn)算中，最易出錯的是混淆同底數(shù)冪的乘法與乘方在冪的運(yùn)算中，最易出錯的是混淆同底數(shù)冪的乘法與乘方的運(yùn)算法則在應(yīng)用時(shí)，牢記以下公式：的運(yùn)算法則在應(yīng)用時(shí)，牢記以下公式：a

10、am ma an na am mn n，(a(am m) )n na amnmn，(ab)(ab)n na an nb bn n. .練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練4 4考點(diǎn)三考點(diǎn)三 整式運(yùn)算整式運(yùn)算 (5(5年年2 2考考) ) (2015 (2015河北河北) )老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)二次三項(xiàng)式，形式如圖所過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)二次三項(xiàng)式，形式如圖所示示(1)(1)求所捂的二次三項(xiàng)式；求所捂的二次三項(xiàng)式；【分析】【分析】 (1)(1)利用整式的運(yùn)算法則求解；利用整式的運(yùn)算法則求解；(2)(2)把把x x的值代入計(jì)算即

11、可求出值的值代入計(jì)算即可求出值整式的運(yùn)算順序：先算整式的乘除，再算整式的加減整式的運(yùn)算順序：先算整式的乘除，再算整式的加減整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)5 5(2013(2013河北河北) )如圖，淇淇和嘉嘉做數(shù)學(xué)游戲：如圖，淇淇和嘉嘉做數(shù)學(xué)游戲：假設(shè)嘉嘉抽到牌的點(diǎn)數(shù)為假設(shè)嘉嘉抽到牌的點(diǎn)數(shù)為x x，淇淇猜中的結(jié)果應(yīng)為，淇淇猜中的結(jié)果應(yīng)為y y，則則y y為為( )( )A A2 B2 B3 C3 C6 D6 Dx x3 3B B6 6(2017(2017新華區(qū)模擬新華區(qū)模擬) )已知已知(x(x1)1)3 3axax3 3bxbx2 2cxcxd d，則則a ab b

12、c cd d的值為的值為( )( )A A1 B1 B0 0C C1 D1 D不能確定不能確定B B7 7(2017(2017河北河北) )發(fā)現(xiàn)任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和發(fā)現(xiàn)任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和是是5 5的倍數(shù)的倍數(shù)驗(yàn)證驗(yàn)證(1)(1)(1)1)2 20 02 21 12 22 22 23 32 2的結(jié)果是的結(jié)果是5 5的幾倍？的幾倍？(2)(2)設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)為數(shù)設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)為數(shù)n n，寫出它們的平，寫出它們的平方和，并說明是方和，并說明是5 5的倍數(shù)的倍數(shù)延伸任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和被延伸任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和被3 3除的余數(shù)是幾呢？除的余數(shù)是幾呢？請寫出理由請寫

13、出理由解：驗(yàn)證解：驗(yàn)證(1)(1)(1)1)2 20 02 21 12 22 22 23 32 215155 53 3，結(jié)果是結(jié)果是5 5的的3 3倍倍(2)(2)由題意得由題意得(n(n2)2)2 2(n(n1)1)2 2n n2 2(n(n1)1)2 2(n(n2)2)2 2，化簡得化簡得5n5n2 210105(n5(n2 22)2)nn為整數(shù)，為整數(shù)，這個(gè)和是這個(gè)和是5 5的倍數(shù)的倍數(shù)延伸余數(shù)是延伸余數(shù)是2.2.理由：設(shè)中間的整數(shù)為理由：設(shè)中間的整數(shù)為n n，則則(n(n1)1)2 2n n2 2(n(n1)1)2 23n3n2 22 2，故，故3n3n2 22 2被被3 3除余除余2

14、.2.考點(diǎn)四考點(diǎn)四 因式分解因式分解 (5(5年年2 2考考) ) (2017(2017石家莊模擬石家莊模擬) )多項(xiàng)式多項(xiàng)式mxmx2 2m m與多項(xiàng)式與多項(xiàng)式x x2 22x2x1 1的公因式是的公因式是( )( )A Ax x1 B1 Bx x1 C1 Cx x2 21 D1 D(x(x1)1)2 2 【分析【分析】 分別將多項(xiàng)式分別將多項(xiàng)式mxmx2 2m m與多項(xiàng)式與多項(xiàng)式x x2 22x2x1 1進(jìn)行因式分解，再尋找它們的公因式進(jìn)行因式分解，再尋找它們的公因式【自主解答【自主解答】 mxmx2 2m mm(xm(x1)(x1)(x1)1)，x x2 22x2x1 1(x(x1)1)

15、2 2，則多項(xiàng)式，則多項(xiàng)式mxmx2 2m m與多項(xiàng)式與多項(xiàng)式x x2 22x2x1 1的公因式的公因式為為x x1.1.故選故選A.A.講：因式分解的誤區(qū)講：因式分解的誤區(qū)因式分解的一般步驟為因式分解的一般步驟為“一提一提”“”“二套二套”“”“三檢驗(yàn)三檢驗(yàn)”，先考慮用提公因式法分解，再考慮套用公式分解，最后先考慮用提公因式法分解，再考慮套用公式分解，最后檢驗(yàn)因式分解是否徹底、正確在因式分解中，最容易檢驗(yàn)因式分解是否徹底、正確在因式分解中，最容易出錯的地方就是因式分解不徹底出錯的地方就是因式分解不徹底練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練9 98 8(2013(2013河北河北) )下列等式從左到

16、右的變形，屬于因式下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是分解的是( )( )A Aa a( (x xy y) )axaxayayB Bx x2 22 2x x1 1x x( (x x2)2)1 1C C( (x x1)(1)(x x3)3)x x2 24 4x x3 3D Dx x3 3x xx x( (x x1)(1)(x x1)1)D D9 9(2014(2014河北河北) )計(jì)算：計(jì)算：85852 215152 2( )( )A A70 B70 B700700C C4 900 D4 900 D7 0007 0001010(2017(2017濟(jì)寧濟(jì)寧) )分解因式：分解因式：mama2 22mab2mabmbmb2 2 _D Dm(am(ab)b)2 2