《剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》PPT課件.ppt

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第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)動(dòng)量矩,,剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組－理想化模型）,剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).,平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.,3.1剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng),平動(dòng)的特點(diǎn):,剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同,剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),,轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).,剛體的平面運(yùn)動(dòng).,,,,一描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量,,,角位移,角坐標(biāo),,剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)－定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度矢量,1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn),角加速度,方向:右手螺旋方向,二勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式,當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).,剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對比,三角量與線量的關(guān)系,,,,,,,飛輪30s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度,例1一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150rmin-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始后t=6s時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.,該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度,轉(zhuǎn)過的圈數(shù),例2在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開始時(shí)，它的角速度，經(jīng)300s后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000rmin-1.已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比.問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？,解由題意，令，即，積分,得,當(dāng)t=300s時(shí),所以,轉(zhuǎn)子的角速度,由角速度的定義,得,有,在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù),,,,,,,:力臂,剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.,對轉(zhuǎn)軸Z的力矩,一力矩,3.2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,,,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩,3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消,,O,二剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程（轉(zhuǎn)動(dòng)定律）,,,,,,,在剛體中任取一質(zhì)量元,-外力,-內(nèi)力,采用自然坐標(biāo)系，切向分量式為：,力的法向分量的作用線通過轉(zhuǎn)軸，其力矩為零，不予考慮。,,用乘以上式左右兩端：,設(shè)剛體由N個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將N個(gè)方程左右相加，得：,合外力矩,合內(nèi)力矩,外力矩,內(nèi)力矩,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,得到：,物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法,質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,與牛頓第二定律比較：,確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置,J與質(zhì)量分布有關(guān),例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,,,,,dl,O,m,,,R,O,m,,,,r,dr,,R,,,例如等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,,,L,z,O,,x,dx,M,,J與剛體的總質(zhì)量有關(guān),O,,,,L,,x,dx,M,z,,,,,L,O,,x,dx,M,z,J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),,,x,x,x,解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO為處的質(zhì)量元,,例1一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒,例2一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通2過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán),而,圓環(huán)質(zhì)量,所以,圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,例3內(nèi)半徑為R1外半徑為R2質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,例4質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,在球面取一圓環(huán)帶，半徑,例5質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合,四平行軸定理,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.,質(zhì)量為的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對任一與該軸平行，相距為的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,圓盤對P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,竿子長些還是短些較安全？,飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？,例一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.,解細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,式中,得,由角加速度的定義,代入初始條件積分得,(1)飛輪的角加速度,(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速,解(1),(2),,兩者區(qū)別,,,,例,求,一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見圖),一定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，不能伸長的輕繩兩邊分別系m1和m2的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無相對滑動(dòng)。（設(shè)輪軸光滑無摩擦，滑輪的初角速度為零）,例,求,滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。,解,以m1，m2，m為研究對象,受力分析,,,,,,,,,滑輪m：,物體m1：,物體m2：,（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為再求線加速度及繩的張力.,例質(zhì)量為的物體A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B上.滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B從靜止落下距離時(shí)，其速率是多少？,,,解（1）隔離物體分別對物體A、B及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.,,如令，可得,（2）B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率,（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)定律,結(jié)合（1）中其它方程,,,,例一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為?，令圓盤最初以角速度?0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？,解由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計(jì)算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量dm=?rd?dre，所受到的阻力矩是r?dmg。,此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是,因m=?e?R2，代入得,阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度.,