一題多解 工程應(yīng)用題

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1、例 1 一項工程，甲隊單獨做完要 12 天，乙隊單獨做完要 10 天，兩隊合做多少天就可以完成？ 【分析1】把這項工程看作整體“ 1”，甲每天完成工程的12，乙隊每天完成工程的1° , 11 11 甲乙合做每天完成工程的,工程“ 1”里包含幾個6° ,就是兩隊合做完成這個工程的天數(shù). 解法1】兩隊合做 1天完成的工程？ ￡ ￡ 11 叵+帀藥 兩隊合做多少天完成這項工程？ 1三 60「11（天） 綜合算式：1^（12 +】0） =1^° =入1 （天）. 【分析 2】用最小公倍解法.因為12和10的最小公倍數(shù)是60，所以可假設(shè)這項工程為 60. 那么甲隊工作效率為60三1

2、2=5，乙隊工作效率為60三10=6，甲乙合做效率為5+6=11.用總工作 量60除以甲乙效率和11，即得兩隊合做完成這個工程的天數(shù). 【解法 2】假設(shè)這項工程總工作量為 60. 60 三（60 三 12+60F10） 天） . 10 5 【分析3】由題意可知，甲隊每天的工作量，乙隊 天就可完成，即&天?兩隊合做1天的 2忙 色 工作量由乙隊獨做需要1+五天，即$天?所以乙隊10天完成的這項工程,兩隊合做要用10三6 '（天）完成. 【解法 3】10^（1+10^12） ? U 5-1 =10三（1+& ） =10三拆= '（天）. 10 【分析4】甲隊12天的工

3、作量，乙隊10天即可完成，所以乙隊1天的工作量，甲隊要用 ? ￡ ￡1 天完時，即刁天。那么甲乙兩隊合做1天的工作量，甲隊要用1+^= 5 （天）?所以乙隊10天 2 5— 完成的這項工程，兩隊合做要用12- 5= '（天）. 【解法 4】12^（1+12^10） =12^ =門（天）. 5— 答：兩隊合做 ?天就可以完成. 【評注】解法1是工程應(yīng)用題的一般解法，易于理解.是較好的解法。解法2是利用求公倍 數(shù)法解工程應(yīng)用題，這種解法其實是假設(shè)解法，讀者可根據(jù)實際情況選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)假設(shè)為總工程 量. 例 2 一列貨車與一列客車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)過 9 小時相遇，相遇后

4、兩車都繼 續(xù)以原速前進。已知貨車又行了 6 小時到達乙站，問客車行完全程需要幾小時？ 【分析1】把甲乙兩站全程看作標準“1” ?兩車同行1小時行完全程的勺，貨車1小時可行 1 ￡ 1 L 2 2 全程的 ，即那么客車1小時可行全程的「 全程“1”里包含著多少個. 就是客車行全程需要多少小時. 解法 1】 IF =1 F 小時）. 【分析 2】貨車行全程需 9+6=15（小時）， 9和15的最小公倍數(shù)是45，所以兩站全程可假 設(shè)為45,那么兩車同時行1小時可行45三9=5，貨車1小時可行45三15=3，所以客車每小時可 行5-3=2.甲乙兩站全程45內(nèi)包含多少個2,就是客車

5、行全程需要多少小時. 【解法2】假設(shè)甲乙兩站全程為45. 45F [45F 9-45F（9+6） ] =45F[45F9-45F15] =45 F [5-3]= （小時）. 【分析3】兩車9小時行完的路程，貨車要用9+6=15（小時）行完.而客車9小時行完的路 程，貨車只需6小時行完?那么貨車1小時行完的路程，客車需要9三6=1.5 （小時）?所以貨車1 5小時的行程，客車需要1.5X15=22.5 （小時）. 【解法3】9F6X（9+6） 【分析4】兩車同時行全程需 9小時，貨車行全程需要 9+6=15（小時），那么客車行9小 時恰好行完全程的 X6^，所以客車每小時行全程的

6、刁三9」?由此可求客車行全程的時 間. 【解法4】1三（9 +& X6三9） =1三（虧 4-9） 小時） ? 【分析5】把客車行完全程需要的時間看作“1” ?貨車行全程需9+6=15 （小時），而貨車6 ￡ 言 小時的行程和客車9小時的行程恰好相同，由此可求出客車9小時行全程的 X6=^，即9小 時的對應(yīng)分率，由此可求客車行全程的時間? 【解法5】94（ ° +拆X6） =94 話X6) 小時） ? 答：客車行完全程需要 小時. 【評注】比較以上五種解法，解法1 是工程應(yīng)用題的一般解法，思路簡明清晰，易于理解和 掌握；解法5是運用分數(shù)除法應(yīng)用題的解法

7、，更有益于理解工程應(yīng)用題，且運算簡便，這兩種解 法是本題的較好解法. 余下的由乙繼續(xù)做3天才完成.乙一共做了多少天? 【分析1】乙每天完成這件工作的8 12 24，那么乙3天完成了這件工作的24 再求出甲乙合做的工作量1-* = ￡，刃里包含多少*個，就是甲乙合做了幾天，即乙先做了幾 天.再加上余下3天即得乙共做多少天. 【解法1】[1-（興12 ）X3]^ +3 =[1-24 X3]三斤 +3 =[1-習(xí)]寧耳+3 7 ] =區(qū) 一'+3=10 （天）。 【分析 2】根據(jù)“甲乙合做的工作量與乙獨做完成工作量的和等于總工作量”這一 等量關(guān)系列方程，先求乙先做了幾天，再加上3

8、天即得乙共做了多少天. + *=1 x=7 7+3=10 【解法 2】設(shè)甲乙合做了 x 天. 【分析3】假設(shè)總工作量為24,那么甲乙效率和是24三8=3,甲的效率是24三12=2, 所以乙的效率是3-2=1,它3天完成了 1X3=3.因此，甲乙合做（24-3）三3=7 （天）， 即乙先做了 7天,再加上3天即得乙共做的天數(shù). 【解法 3】假設(shè)工作總量為 24. [24- （24三8-24三 12）X3]三（24三8） +3 =[24- （3-2）X3）三3+3 =[24-3]三 3+3 X3=d , =21 三3+3=10 （天）. 【分析4】假設(shè)甲乙合做了 5天，那么

9、比實際少完成1-耳X5-（懇 甲乙繼續(xù)合做還要用°三斤=2 （天）?所以乙共做了 5+2+3=10無 解法4】假設(shè)甲乙合做了 5天. ] 1丄 1 [1-8 X5-（塔-12 ） X3]^ +5+3 =[1-斤 X5-羽 X3]F+5+3 4 三 * +5+3=10 （天）. 答：乙一共做了 10天. 評注】解法1和解法2是較好的解法.解法1是工程應(yīng)用題的一般解法，雖思路較 繁，但容易想到. 例4 如圖是表示甲、乙、丙三個工程隊單獨完成某項工程所需天數(shù)的條形圖.請計 算：甲、乙兩隊合做4天后，剩下的工程由丙隊做，丙隊還要做幾天才能完成任務(wù)？ 【分析 1】先求出甲、乙

10、兩隊合做 4天完成了工程的幾分之幾，再求剩下的工程 再除以丙隊每天的工作量IT,即得丙隊還要做的天數(shù). 解法 1】甲、乙合做 4天完成的工程？ 剩下的工程有多少？ 11 4 17=15 丙隊還要幾天完成？ 天） 綜合算式： [1- 11 11 ￡ =[1-話]三忑 天）. 【分析2】先求出甲、乙合做 4天的工作量由丙隊獨做需要幾天，再用丙獨做全工 程用的15 天減去這個天數(shù)，即得丙隊還要做的天數(shù). 【解法 2】甲、乙合做 4天完成多少？ （丄+丄）X4 I 10 1 護=15 甲、乙合做的工程由丙獨做需幾天？ 11 ￡ 話三話=11 （

11、天） 剩下的工程丙隊還要幾天完成？ 15-11=4（天） 綜合算式：15-" X4^15 11 丄 =15，° X4三 H 11 ￡ =15衛(wèi)卡 =15-11=4（天） . 【分析 3】把丙隊獨做全工程需用天數(shù)看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程 即丙隊還要做天數(shù)的對應(yīng)分率，最后求出剩下工程丙隊還需幾天完. 解法 3】甲、乙合做了工程的幾分之幾？ 還剩下全工程的幾分之幾？ 11 4 1?=15 丙隊完成剩下的工程還需幾天？ 15X W =4 （天） 綜合算式：15X[1- ] =15X[1」藥 =15X H =4 （天）. 分析 4】根據(jù)“剩

12、下工程=總工程-甲乙合做的工程”這一等量關(guān)系，列方程解. 【解法4】設(shè)丙隊還要x天完成. =1- 11 占=小 x=4 答：丙隊還要做 4 天才能完成任務(wù). 【評注】比較以上四種解法，解法1 和解法 3 是較好的解法.解法 1 是解工程應(yīng)用題 的一般方法，容易理解.解法3是運用分數(shù)乘法應(yīng)用題的解法，比解法 1的思路更直接. 另外，本題還可用最小公倍法和正比例來解，讀者可試解一下. 例5 一項工程，甲、乙兩隊合做20天完成?已知甲、乙兩隊工作效率的比是4： 5. 甲乙兩隊單獨完成這項工程各需要多少天？ 【分析1】甲乙兩隊的工作效率和是2°,又知甲乙工作效率的比是4： 5,由

13、此運 用按比例分配的方法，分別求出甲、乙兩隊的工作效率.再用總工作量“1”分別除以甲 乙的獨做效率，即得甲乙獨做全工程的天數(shù). 【解法 1】甲隊每天完成多少工程？ 2＞＜丄=丄 ：20 4 +5 15 乙隊每天完成多少工程？ 丄）＜丄=丄 ：20 4 +5 36- 甲隊獨做全工程需幾天？ 1^5 =45 （天） 乙隊獨做全工程需幾天？ 1三 ％ =36 （天） 綜合算式：甲隊：1三（ ）=1三4亍=45 （天） 丄鑿丄 1 乙隊：1三(2° 厲+」)=1^6 =36 (天). 【分析2】因為“工作量三工作效率=工作時間”，工作時間一定，所以工作量和工 ，乙隊

14、 作效率成正比例?即甲乙兩隊工作量的比是4 ： 5,所以甲20天完成了全工程的§ 20天完成了全工程的§ ?由此可分別求出甲、乙獨做全工程各需多少天. 解法 2】甲隊獨做全工程需要多少天？ 4 9 20三"+ ^=20X ° =45 （天） 乙隊獨做全工程需要多少天？ 5 9 20三 ° + 5 =20^ =36 （天） 【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4： 5.因為他們的工作效率一定， 所以他們各自完成的工作量與所需的時間成正比例.由此可分別列比例式，求出兩隊的獨 做時間. 【解法3】設(shè)甲隊獨做需x天完. 20： 4=x：( 4+5) 4x=20X9 x=

15、20X9 三4 x=45 設(shè)乙隊獨做全工程需要y天. 20： 5=y：( 4+5) 5y=20X 9 y=36 答：略. 【評注】解法1是解工程應(yīng)用題的一般方法，易于理解，但思路較曲折.解法2是運 用分數(shù)除法應(yīng)用題的方法來解的，思路簡單明白，運算也較簡便，是本題的較好解法. 解法3雖與解法2的思路、方法都不同，但兩者的數(shù)量關(guān)系是相同的. 例 6 修一段公路，甲隊單獨修需要 16 小時完工 . 甲乙兩隊合修 4 小時后，剩下的 由乙隊又用z小時修完?這段公路全部由乙隊修筑需要幾小時完工？ 分析 1】乙隊先后共修了 4+ 小時.先求乙隊共修了這段路的幾分之幾， 再求乙隊

16、的工作效率，最后看這段公路“1”里包含幾個乙隊的工作效率，即乙隊獨修 需幾小時. 解法 1】乙隊共修了全長的幾分之幾？ 3： 1-16 心=4 乙隊先后共修了幾小時？ 4+ 小時） 乙隊每小時修全長的幾分之幾？ 乙隊獨修全長需幾小時？ 綜合算式：1三［(1-“ X4)三 ■4 (4+ Z )] =1三[(1-14 )三 ] =1 三 14 =14 (小時). 分析 2】把乙隊獨修全長需要的時間看作“1”.由分析 1可知，乙隊先后共修了 小時，修了全長的N ,根據(jù)分數(shù)除法的意義求出乙隊獨修全長需要幾小時. 4 彩 【解法2】(4+

17、 )^(1- X4) =14 (小時). 【分析 3】根據(jù)“甲隊修路+乙隊修路=全路長”這一等量關(guān)系列方程解. 【解法 3】設(shè)乙隊獨修需 x 小時完. 丄2 丄 16 X4+* X(4+ ) =1 x=1三 14 x=14 答：這段公路由乙隊獨修需 14 小時完工. 【評注】比較以上三種解法，解法 2的思路最簡捷，運算最簡便，是本題的最佳解 法. 例 7 一項工程甲隊單獨做要 15 天才能完成，乙隊單獨做 12 天才能完成，如果甲 隊先做3 天后，剩余的工作兩隊同時去做，還要多少天可以完成？ 【分析 1】先求出甲隊先完成了工程的幾分之幾，那么即可求出剩下的工程，

18、再用 剩下的工程除以甲、乙隊的工作效率和，即得甲、乙隊合做還要多少天完. 【解法 1】甲隊先做了多少？ & X3=' 剩余的工作有多少？ 1 4 l3=5 兩隊合做還要多少天完？ 1丄+丄5-1- … )=彳(天) 綜合算式： (1- X3)F( =（3 ） 【分析 2】把兩隊合做全工程的時間看作“ 1 ”.先求出兩隊做全工程需要多少天 再求剩余的工程是全工程的幾分之幾，最后求出兩隊還要多少天完成. 【解法 2】甲乙合做全工程需要幾天？ 1 1 20 —+—— 一 1三（ ）=3 （天） 兩隊要合做全工程的幾分之幾？ 兩隊還要多少天可以完成？ 20 4

19、 51 ‘（天） 1 1 1 —+ — 綜合算式： 1三（W 12）X（1J5 乂3） 20 4 分析 3】根據(jù)“甲隊先做的工作量+兩隊合做的工作量=工作總量”列方程解. 【解法3】設(shè)兩隊還要x天完成. x= (1-')三 20 【分析4】剩余的工作由甲獨做要用 15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么 所需的時間和工作效率成反比例.由此列方程解. 【解法4】設(shè)兩隊合做還要x天完. 15 X(15-3)=( ￡ 丄 15 X12=》°x x= x= 答：剩余的工作兩隊還要 天可以完成. 【評注】以上四種解法各有特點.解法1是一般解法

20、，最容易想到，運算較簡便，是 較好的解法.解法2是分數(shù)應(yīng)用題的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法， 但等量關(guān)系不同.讀者可靈活選用. 例 8 倉庫有 45 噸化肥，甲汽車單獨運 10 小時完成，乙汽車單獨運 15 小時完成 . 用甲乙兩輛汽車同時運，多少小時可以運完？ 【分析 1】先求兩車每小時各運多少噸，再求兩車每小時共運多少噸，最后用總噸 數(shù)除以兩車每小時運的，即得兩車同運所需時間. 【解法 1】甲車每小時運多少噸？ 45三 10=4.5 （噸） 乙車每小時運多少噸？ 45三 15=3 （噸） 兩車每小時運多少噸？ 4.5+3=7.5（噸） 兩車同時運需幾

21、小時運完？ 45三7.5=6 （小時） 綜合算式：45+ （45三10+45三15） =45 三（4.5+3） =45三7.5=6 （小時）。 【分析 2】先求出兩車每小時共運總噸數(shù)的幾分之.幾？再求兩車每小時共運多少噸 再看總噸數(shù)里包含幾個這樣的噸數(shù)，就是兩隊合運需幾小時. 【解法 2】兩車每小時運貨的幾分之幾？ 1 1 1 + = 10 15 兩車每小時運貨多少噸？ 45X： =7.5 （噸） 兩車合運幾小時完成？ 45三7.5=6 （小時） 丄+丄 綜合算式：45F[45X（1° 15 ）] =45 三[45三'] =45三7.5=6 （小時

22、）. 【分析3】甲車每小時運化肥的1°,乙車每小時運化肥的吧，兩車每小時運化肥 丄+丄| 1 的（1° ） = ?把化肥總噸數(shù)看作“ 1”，“1”里包含幾個拆，就是兩車同運幾小 時完成 . 1 1 1 ■ -；■ 【解法3】1三（〔° 15 ） =1三& =6 （小時）. 分析 4】根據(jù)“甲車運肥+乙車運肥=化肥總量”這一等量關(guān)系列方程解. 【解法4】設(shè)兩車同運x小時完. 仁）x=1 x=lF x=6 丄+丄 或（ ）x=l 丄+2 x=l ― x=6 答：兩車同時運 6 小時可以完成. 【評注】比較以上四種解法，解法 3的思路最簡捷，運算最簡便，是本題的

23、最佳解 法. 例 9 甲乙兩地相距 630 千米，客車和貨車同時從兩地出發(fā)，相向而行 .客車行完全 程需 14 小時，貨車行完全程需 21 小時.兩車相遇時各行了多少千米？ 【分析 1】先求客車和貨車的速度各多少，再求兩車的相遇時間，最后用兩車的速 度分別乘以相遇時間，即得每車各行多少千米. 【解法 1】客車每小時行多少千米？ 630 三 14=45 （千米） 貨車每小時行多少千米？ 630 三 21=30 （千米） 兩車幾小時相遇？ 630三（45+30） 3 （小時） 相遇時客車行多少千米？ 45 X § =378 （千米） 相遇時貨車行多少千米？ 30X § =2

24、52 （千米） 綜合算式： 客車：630三 14X[630三（630F14+630三21）] =45 X [630 三（45+30）] 42- =45 X § =378 （千米） 貨車： 630-378=252（千米） 【分析 2】先求出甲車的速度，再運用工程應(yīng)用題的解法求兩車的相遇時間，然后 用甲車速度乘以相遇時間即得甲車行多少千米.最后再求貨車的行程. 【解法 2】客車每小時行多少千米？ 630 三 14=45 （千米） 兩車幾小時相遇？ 1 1 42 + 1三（ ）=^ （小時） 客車行了多少千米？ 42 45 X § =378 （千米）

25、貨車行多少千米？ 630-378=252（千米） 綜合算式： —+ — 客車：（630三 14）X[1F（ 14 21 ）] J_ 42- =45X[1F 4? ]=45X 庁=378 （千米） 貨車： 630-378=252（千米） 【分析3】因為“路程三速度=時間”，時間一定，所以客車和貨車的路程比等于 速度比即14 ：鼻=3：2.由此可運用按比例分配的方法分別求出兩車各行了多少千米. 【解法 3】客車與貨車所行路程的比？ 14 ： 21 =3 ：2 客車行了多少千米？ 630 X =378 （千米） 貨車行了多少千米？ 630 X =252 （千米） 21

26、綜合算式：客車：630 X =378 （千米） 14 貨車：630x 14 + 2 1=252 （千米）. 答：略. 【評注】比較以上三種解法，解法 1最繁，但其思維難度小，也最容易想到.解法3 的思路簡單明白，運算最簡便，是本題最佳解法.如果由分析 3繼續(xù)分析，運用分數(shù)應(yīng)用 題解法也可求出兩車各行多少千米. 例 10 一項工程，甲單獨做 40 天完成，乙單獨做 30 天完成，二人合做若干天后， 甲臨時調(diào)走，乙繼續(xù)完成這項工程，一共用 27 天.求乙單獨工作了多少天？ 【分析 1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然 后再除以甲的工作效率即得甲做了幾天，

27、即甲乙合做的天數(shù).最后用27 天減去甲乙合做 的天數(shù)，即得乙單獨做了多少天. 【解法 1】 乙共完成工程的幾分之幾？ ] 9 刃 X27= 1° 甲完成了工程的幾分之幾？ _9_丄 To = w 甲乙合做了多少天？ 1° 三 4° =4 （天） 乙單獨做了多少天？ 27-4=23(天) 綜合算式：27- (1-3° X27)三°° io' . 40 =27-4=23（天）. 丄+丄 【分析2】假設(shè)甲沒有被調(diào)走，那么甲乙合做27天要超過全工程的（徒 孔） 邑 X27-1」?這部分工程就是甲留下完成的' 因此求出甲完成工程的需要幾天，就是 乙單獨又

28、做了幾天. 解法2】甲乙的效率和是多少？ 1 1 7 --+ 40 30 = 120 甲乙合做 27 天完成工程的幾分之幾？ 7 63 120 X27=4。 超過全工程的幾分之幾？ 63- 23 40-1=40 乙單獨工作了多少天？ 23 ] 徒三徒=23 （天） 1 1 1 + 綜合算式： ）X27-1]三 X27-1]F 恥 63- ￡ =[厲心厲 23 ] 4° 三 4° =23 (天). 分析 3】 根據(jù)“甲乙合做的工作量+乙單獨做的工作量=總工作量”列方程解. 【解法3】設(shè)乙單獨工作了 x天. 1 1 1 --+

29、 —— -；- X(27-x) +?°x=l 7 ￡ 120 X27-X+加 x=l 7 ￡ J_ (120 - 30)x= 120 X27-1 x=23 【分析4】甲乙合做全工程需要1三 1 1 120 ——+—— )=7 天），那么實際多用2 120 69 69 7-7=7 （天）?這是因為甲應(yīng)完成的工作由乙7天完成, 由此可求若甲不調(diào)走， V-冥 甲還應(yīng)做 69 . 1 弦 —T" = 7 40 7 （天），所以乙獨做的時間為7 +1 =23 （天）. 92'= 69 解法 4】 甲乙合做全工程需幾天？ 1 120 ―存込

30、=〒（天） 全工程延長了幾天？ 120 69 27- 7 = 7 （天） 69 乙7天的工作量甲需幾天完? L黴空亠丄一迢 （天） 乙單獨做了幾天? 92= 69 了 + 了 =23 （天）. 【分析 5】假設(shè)乙獨做 27 天完成全工程，那么比它實際每天多做全工程的 1 1 1 1 ■, — = 27 30 270 .這是因為把甲完成的工作量平均分了 27等份，每份恰是270 .因此把 每份工作量乘以27即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率4°，即得甲乙合做天數(shù), 由此可求乙獨做了多少天. 丄—丄 丄 【解法5】27-（茁 3°）X27三加 =27-3" “7 X27X40 =27-4=23（天） . 答：乙單獨工作了 23天. 【評注】比較以上五種解法，解法 1、解法 2、解法 5 各有特點，是本題的較好解 法.讀者可根據(jù)實際情況，選擇合適的方法.