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1、第一章“算法初步” 簡(jiǎn)介
算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新增內(nèi)容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，運(yùn)用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過(guò)程就是算法。一般地，機(jī)械式地按照某種確定的步驟行事，通過(guò)一系列小的簡(jiǎn)單計(jì)算操作完成復(fù)雜計(jì)算的過(guò)程，被人們稱為“算法”過(guò)程。例如，人們很容易完成的基本計(jì)算是一位數(shù)的加、減、乘和進(jìn)位借位等，復(fù)雜計(jì)算過(guò)程實(shí)際上都是通過(guò)這些操作，按照一定的工作次序與步驟，組合完成的。
一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，并日益融入社會(huì)生
2、活的許多方面，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。需要特別指出的是，中國(guó)古代數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵了豐富的算法思想。在本章中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上，結(jié)合對(duì)具體數(shù)學(xué)實(shí)例的分析，體驗(yàn)程序框圖在解決問(wèn)題中的作用；通過(guò)模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程；體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力。
具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：
1．算法的含義、程序框圖
?。?）通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析（如：二元一次方程組求解等問(wèn)題），體會(huì)算法的思想，了解算法的含義。
?。?）通過(guò)模
3、仿、操作、探索，經(jīng)歷設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程。在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中（如：三元一次方程組求解等問(wèn)題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。
2．基本算法語(yǔ)句
經(jīng)歷將具體問(wèn)題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句的過(guò)程，理解幾種基本算法語(yǔ)句——輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句，體會(huì)算法的基本思想。
3．通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感。
二、內(nèi)容安排
本章包括3節(jié)，約需12課時(shí)，具體內(nèi)容和課時(shí)分配（僅供參考）如下：
1.1 算法與程序框圖??????????????????????
4、???????????????? 約2課時(shí)
1.2 基本算法語(yǔ)句???????????????????????????????????????? 約3課時(shí)
1.3 算法案例???????????????????????????????????????????? 約6課時(shí)
閱讀與思考?? 割圓術(shù)
小 結(jié)??????????????????????????????????????????????????? 約1課時(shí)
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：
1．中學(xué)數(shù)學(xué)中的算法內(nèi)容和其它內(nèi)容是密切聯(lián)系在一起的，比如線性方程組的求解、數(shù)列的求和等。具體來(lái)說(shuō)，需要通過(guò)模仿、操作、
5、探索，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)算法的基本思想和含義，理解算法的基本結(jié)構(gòu)和基本算法語(yǔ)句，并了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法。
2．本章集中解決算法的一些基本問(wèn)題，比如通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)和理解算法的含義，通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程，了解算法語(yǔ)言的基本構(gòu)成，理解幾種基本算法語(yǔ)句——輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句，并通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。
3．一般算法由順序、條件和循環(huán)三種基本結(jié)構(gòu)組成。順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的基本主體結(jié)構(gòu)。例如，下面的
6、算法就是典型的順序結(jié)構(gòu)。
一個(gè)三角形的三邊邊長(zhǎng)分別為2、3、4，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求出它的面積。
算法分析：
第一步：輸入3個(gè)數(shù)2、3、4。
第二步：計(jì)算。
第三步：計(jì)算三角形的面積。
第四步：輸出s的值。
條件結(jié)構(gòu)是以條件的判斷為起始點(diǎn)，根據(jù)條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個(gè)處理步驟。例如，下面的例題就要求我們做出判斷。
任意給定3個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求分別以這3個(gè)數(shù)為三邊邊長(zhǎng)的三角形的面積。
算法分析：
第一步：輸入3個(gè)數(shù)a、b、c。
第二步：判斷a、b、c是否能構(gòu)成三角形。
第三步：如果能構(gòu)成三角形，計(jì)算和三角形的面積。
7、 第四步：輸出ｓ的值或者“無(wú)法構(gòu)成三角形”的信息。
循環(huán)結(jié)構(gòu)是指在算法設(shè)計(jì)中，從某處開(kāi)始有規(guī)律地反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟，這個(gè)處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)體的執(zhí)行次數(shù)由一個(gè)控制循環(huán)條件決定。滿足條件反復(fù)做，不滿足則停止。
循環(huán)結(jié)構(gòu)分為兩種──當(dāng)型（while型）和直到型（until型）。當(dāng)型循環(huán)在執(zhí)行循環(huán)體前對(duì)控制循環(huán)條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件滿足時(shí)反復(fù)做，不滿足停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對(duì)控制循環(huán)條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件不滿足時(shí)反復(fù)做，滿足則停止。
? 下面的例子分別用當(dāng)型和直到型算法解決同一個(gè)問(wèn)題。
例如，畫出求1 + 2 +… + 100的程序框圖。
程序框圖
8、：
? “WHILE型循環(huán)”????????????????????????????? “UNTIL型循環(huán)”
4．“算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)”，計(jì)算機(jī)完成任何一項(xiàng)任務(wù)都需要算法。但是，用自然語(yǔ)言或程序框圖描述的算法計(jì)算機(jī)是無(wú)法“理解”的，我們還需要將算法用計(jì)算機(jī)能夠理解的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，通常這稱為程序設(shè)計(jì)，所用的語(yǔ)言稱為程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（programming language）。程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言由一些有特定含義的程序語(yǔ)句構(gòu)成，與算法程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)，任何程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言都包含輸入輸出語(yǔ)句 、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句。不同的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言有不同的語(yǔ)句形式和語(yǔ)法規(guī)則，但基本
9、結(jié)構(gòu)是相同的。正是由于這樣的原因，在研究算法的時(shí)候，有時(shí)并不很關(guān)心算法語(yǔ)句是否用得是某種精確的程序語(yǔ)言，而采用基本結(jié)構(gòu)相同的更為簡(jiǎn)便易懂的語(yǔ)言形式，有人稱之為偽代碼。
5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)中算法的內(nèi)容是非常豐富的，比如，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中介紹了下述“約分術(shù)”：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”
意思是說(shuō)：若分子、分母全是偶數(shù)，則把分子、分母分別置于兩邊，然后由較大的數(shù)減去較小的數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，直到兩邊所得的數(shù)相等，就用這個(gè)數(shù)（等數(shù)）來(lái)約分。這個(gè)數(shù)就是分子和分母的最大公約數(shù)。
“約分術(shù)”實(shí)際上給出了求任意兩個(gè)數(shù)
10、的最大公約數(shù)的一種算法，被后人稱為“更相減損術(shù)”。這種方法與歐氏算法異曲同工，本質(zhì)上是相同的。
在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，中學(xué)生能夠很容易理解的內(nèi)容還有熟知的割圓術(shù)、多項(xiàng)式求值的秦九韶算法等。
算法內(nèi)容反映了時(shí)代的特點(diǎn)，同時(shí)也是中國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的新特色。中國(guó)古代數(shù)學(xué)以算法為主要特征，取得了舉世公認(rèn)的偉大成就?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機(jī)和活力，算法進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程，既反映了時(shí)代的要求，也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想在一個(gè)新的層次上的復(fù)興，也就成為了中國(guó)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)新的特色。
三、編寫中考慮的幾個(gè)問(wèn)題
１．強(qiáng)調(diào)通過(guò)案例引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)算法的本質(zhì)
算法的概念并沒(méi)有一個(gè)
11、統(tǒng)一的定義，教科書從豐富的實(shí)例出發(fā)，自始至終貫徹“通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問(wèn)題），體會(huì)算法的思想，了解算法的含義”的要求，力求使學(xué)生能夠?qū)λ惴ū举|(zhì)有所認(rèn)識(shí)。自然語(yǔ)言、程序框圖和算法語(yǔ)言是表達(dá)算法的三種形式，教科書通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明程序框圖和算法語(yǔ)言的使用，抓住了算法表示的核心內(nèi)容，不追求完整。算法案例的處理也遵循了這一原則，重在對(duì)案例的算法的分析，案例的選擇也主要從算法的典型性、與以往知識(shí)的連續(xù)性和可接受性的角度出發(fā)，使學(xué)生能夠通過(guò)案例的學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解算法的本質(zhì)。
２．突出與其他部分內(nèi)容的聯(lián)系，體現(xiàn)算法的基本思想
教科書中例題的選取注意體現(xiàn)與已經(jīng)
12、學(xué)過(guò)的內(nèi)容的聯(lián)系，比如一元二次方程、二元二次方程的解法過(guò)程，用二分法求方程的近似解，遞推數(shù)列求和等等。力求通過(guò)這樣的聯(lián)系使學(xué)生認(rèn)識(shí)到算法思想的重要性，并逐步能夠應(yīng)用算法思想解決一些實(shí)際問(wèn)題。
3．強(qiáng)調(diào)學(xué)生的實(shí)踐
算法是實(shí)踐性很強(qiáng)的內(nèi)容，只有通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐，讓學(xué)生親自去解決幾個(gè)算法設(shè)計(jì)的問(wèn)題，才能使學(xué)生體會(huì)算法的基本思想，學(xué)會(huì)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和語(yǔ)句。因此，在教科書編寫過(guò)程中，特別強(qiáng)調(diào)了通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)和理解算法的含義，通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程，了解算法語(yǔ)言的基本構(gòu)成，理解幾種基本算法語(yǔ)句。
四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議
?。保疁?zhǔn)確把握算
13、法內(nèi)容的教學(xué)要求
算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又有高度抽象性、概括性和精確性。對(duì)于一個(gè)具體算法而言，從算法分析到算法語(yǔ)言的實(shí)現(xiàn)，任何一個(gè)疏漏或錯(cuò)誤都將導(dǎo)致算法的失敗。算法是思維的條理化、邏輯化。
算法既重視“算則”，更重視“算理”。對(duì)于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎(chǔ)，“算則”是“算理”的表現(xiàn)。
算法思想可以貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之中，有豐富的層次遞進(jìn)的素材，而在算法的具體實(shí)現(xiàn)上又可以和信息技術(shù)相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學(xué)生理性精神和實(shí)踐能力，是實(shí)施探究性學(xué)習(xí)的良好
14、素材。
根據(jù)對(duì)算法的上述理解，以及“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)算法的定位，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把體會(huì)算法的基本思想、提高學(xué)生邏輯思維能力作為重點(diǎn)，即教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)以教科書中提供的案例為載體，引導(dǎo)學(xué)生在設(shè)計(jì)程序框圖、將程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句的實(shí)踐中，體會(huì)算法的含義，學(xué)會(huì)如何用程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的思路，而不要將本章內(nèi)容簡(jiǎn)單處理成程序語(yǔ)言的學(xué)習(xí)和程序設(shè)計(jì)。
2．算法教學(xué)必須通過(guò)實(shí)例進(jìn)行，應(yīng)盡量使用信息技術(shù)
前已指出，算法的操作性很強(qiáng)，因此算法教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分應(yīng)用教科書中提供的實(shí)例，使學(xué)生在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和算法語(yǔ)句。
算法內(nèi)容是將數(shù)學(xué)中的算法與計(jì)算機(jī)
15、技術(shù)建立聯(lián)系，形式化地表示算法。為了有條理地、清晰地表達(dá)算法，往往需要將解決問(wèn)題的過(guò)程整理成程序框圖；為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，又要將自然語(yǔ)言或程序框圖翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。因此，如果能讓學(xué)生上機(jī)，算法設(shè)計(jì)的整個(gè)過(guò)程就可以得到完整的體現(xiàn)，學(xué)生可以及時(shí)看到自己設(shè)計(jì)的算法的可行性、有效性，這不但可以很好地激發(fā)學(xué)生的興趣，而且還能提高學(xué)習(xí)效果。因此，有條件的學(xué)校，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能上機(jī)嘗試。
3．算法思想應(yīng)滲透在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中
算法除作為本模塊的內(nèi)容之外，其思想方法應(yīng)滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問(wèn)題。在教學(xué)中，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)與算法的有機(jī)結(jié)合，在學(xué)習(xí)相應(yīng)的內(nèi)容（如制作隨機(jī)數(shù)表、三角函數(shù)表、數(shù)列、不等式等）的過(guò)程中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法思想，使他們看到數(shù)學(xué)在算法設(shè)計(jì)中的作用，以及掌握算法思想對(duì)于提高數(shù)學(xué)能力的重要性。
2020高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 簡(jiǎn)介教案 新人教A版必修3
