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1、函數(shù)模型的應用實例
一、 教學目標
1. 知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題.
2. 過程與方法 進一步感受運用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價.
二、 教學重點
重點 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質函數(shù)模型解決實際問題.
難點 將實際問題轉化為數(shù)學模型，并對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價.
三、 學法與教學用具
1. 學法：自主學習和嘗試，互動式討論.
2. 教學用具：多媒體
四、 教學設想
（一）創(chuàng)設情景，揭示課題.
現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉及的數(shù)學模型是確定的，但需我們利用
2、問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關系來建立. 對于已給定數(shù)學模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學模型進行分析評價，驗證數(shù)學模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度.
（二）實例嘗試，探求新知
例1. 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示.
1）寫出速度關于時間的函數(shù)解析式；
2）寫出汽車行駛路程關于時間的函數(shù)關系式，并作圖象；
3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；
4）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2020km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)與時間的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象.
本例所涉及的數(shù)學模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關系建立
3、數(shù)學模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題.
教師要引導學生從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征.
注意培養(yǎng)學生的讀圖能力，讓學生懂得圖象是函數(shù)對應關系的一種重要表現(xiàn)形式.
例2. 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題，認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù). 早在1798，英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：
其中表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，表示人口的年均增長率.
下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
4、
人數(shù)
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人數(shù)
1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；
2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？
探索以下問題：
1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？
2）描述所涉及數(shù)量之間關系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？
3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型
5、？
4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，根據(jù)檢驗結果對函數(shù)模型又應做出如何評價？
如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？
本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題的一類問題，引導學生認識到確定具體函數(shù)模型的關鍵是確定兩個參數(shù)與.
完成數(shù)學模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器.
在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學模型是否吻合時，可引導學生利用計算器或計算機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學生認識到表格也是描述函數(shù)關系的一種形式.
引導學生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預
6、測，實質上是通過求一個對數(shù)值來確定的近似值.
課堂練習：某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產量，以這三個月的產品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產品的月產量與月份的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.
探索以下問題：
1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？
2）如何對所確定的函數(shù)模型進行評價？
本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導學生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型.
引導學生認識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標準是4月份產量的吻合程
7、度，這也是對函數(shù)模評價的依據(jù).
本例滲透了數(shù)學思想方法，要培養(yǎng)學生有意識地運用.
三. 歸納小結，發(fā)展思維.
利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題的方法；
1）根據(jù)題意選用恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關系；
2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；
3）對所確定的函數(shù)模型進行適當?shù)脑u價；
4）根據(jù)實際問題對模型進行適當?shù)男拚?
從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應的問題，這是函數(shù)應用的一個基本過程.
圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應關系的表現(xiàn)形式. 在實際應用時，經(jīng)常需要將函數(shù)對應關系的一種形式向另一種轉化.
高中數(shù)學《函數(shù)模型及其應用》教案5 蘇教版必修1（通用）
