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1、函數(shù)模型及其應(yīng)用
教學(xué)三維目標(biāo)、重點、難點、準(zhǔn)備。
1．1教學(xué)三維目標(biāo)
（1）知識與技能：使學(xué)生學(xué)會建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象或?qū)τ嘘P(guān)發(fā)展趨勢進行預(yù)測。
（2）過程與方法：通過例題與作業(yè)中的具體實例，讓學(xué)生了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。
（3）情感態(tài)度與價值觀：利用函數(shù)模型解決問題前，進行擬合檢驗，培養(yǎng)學(xué)生的負(fù)責(zé)態(tài)度。
1．2教學(xué)重點：由面臨的實際問題建立函數(shù)模型，檢驗函數(shù)模型，并利用得到的函數(shù)模型解決問題。
1．3教學(xué)難點：如何根據(jù)面臨的實際問題建立函數(shù)模型。
1．4教學(xué)準(zhǔn)備：PPT制作與幾何畫板制作。
1 教學(xué)過程。
（學(xué)生）：（對5種基本
2、初等函數(shù)進行回顧）
（教師）：（打開PPT）函數(shù)建模的基本思想與方法：
把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題，得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的形式是多樣的。解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)建模，把實際問題通過分析、聯(lián)想、抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。函數(shù)知識內(nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛，不僅數(shù)學(xué)問題，而且社會生活、生產(chǎn)和自然科學(xué)領(lǐng)域中有許多問題都需要用函數(shù)知識來解決，如成本最底、利潤最高、用料最省、路程最短等?？蓺w納為函數(shù)的最值問題。
現(xiàn)在同學(xué)們來回顧一下以前是如何來解應(yīng)用題的？它的步驟是怎樣的？
（打開PPT）運用建模思想解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是：
3、讀(閱讀材料，審題，找基本量或關(guān)系)；
建(提取信息，抽象成數(shù)學(xué)語言，根據(jù)相關(guān)定義及數(shù)學(xué)知識建立模型)；
求(根據(jù)數(shù)學(xué)思想和方法，求解函數(shù)模型，得出結(jié)論)；
還(把數(shù)學(xué)結(jié)論還原到實際問題中，通過分析、判斷、檢驗得到實際正確解答，寫出答案)。
一.由變量之間的依存關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系；
（學(xué)生）：是不是題目中就已經(jīng)告訴我們幾個量之間的函數(shù)關(guān)系了？
（教師）：是的。而且我們以前所接觸的基本上就是這樣的題目。
二.由所掌握的數(shù)據(jù)資料,即根據(jù)確定性,隨機性數(shù)據(jù)建立函數(shù)關(guān)系,這種往往要畫散點圖。
（學(xué)生）：它是不知道函數(shù)關(guān)系式的。
（教師）：（打開PPT）例：某地新建一個服裝廠，從今年月份
4、開始投產(chǎn),并且前4個月的產(chǎn)量分別為萬件，萬件，萬件，萬件。由于產(chǎn)品質(zhì)量好服裝款式新穎，因此前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好，為使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量，假如你是廠長，將會采用什么辦法？
在這個題目里給我們的只是一些隨機性的數(shù)據(jù)，要看出這些數(shù)據(jù)間的聯(lián)系，我們只有——
（學(xué)生）：畫散點圖。（學(xué)生們接下來畫散點圖，過1分鐘。）
板書：畫散點圖
圖1
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1所示各點：把4個點分別記為A、B、C、D。觀察這4個點有何聯(lián)系？
（學(xué)生）：這4個點基本上在同一條直線上。
（學(xué)生）：應(yīng)該是一次函數(shù)，是。
板書：由圖可知：①
5、用一次函數(shù)擬合，把B、C坐標(biāo)值代入，得，故。
∴與實際的誤差為，與實際的誤差為
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1藍線所示：
（教師）：我們仔細(xì)地觀察圖形，發(fā)現(xiàn)A、D都在直線的下方，我們可以——
（學(xué)生）：二次函數(shù)可以嗎？（有點不肯定）
板書：②用二次函數(shù)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值代入，得，故
∴與實際誤差為
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1黑線所示。
（教師）：觀察這些數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著自變量的增加函數(shù)值也在增加，但是增加的速度是越來越慢的，那我們可以——
（學(xué)生甲）：對數(shù)函數(shù)。（學(xué)生乙）：冪函數(shù)。（學(xué)生丙）：指數(shù)函數(shù)。
（教師）：要求掌握的是次的冪函數(shù)，從經(jīng)過的點來
6、看不是次的冪函數(shù)，但是我們可以用次的冪型函數(shù)來擬合。
板書：③用冪型函數(shù)擬合，把A、B坐標(biāo)值代入，得，故
∴與實際誤差為，與實際誤差為，
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1紅線所示：
（教師）：因為圖象不經(jīng)過這個點，可以肯定不是指數(shù)函數(shù)。
（學(xué)生）：課本上有個例子是用來擬合的，是不是這個也可以的？
板書：④用指數(shù)型函數(shù)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值代入，得 ，
（2）-（1）、（3）-（1）得，∴
故?！嗯c實際的誤差為
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1綠線所示：
（教師）：因為對數(shù)函數(shù)是經(jīng)過點的——
（學(xué)生）：（議論，基本能想到在整個函數(shù)式子后面加一個常數(shù)，很少想到圖象的左右
7、平移，即在后邊加一個常數(shù)）
（教師）：同學(xué)們都能想到在整個式子后加一個常數(shù)，我們知道這是圖象的上下平移；難道同學(xué)們就不能想到圖象的左右平移，那這樣的式子應(yīng)該是——
（學(xué)生）：后邊加一個常數(shù)。
板書：⑤用對數(shù)型函數(shù)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值代入，得 ，（2）-（1）、（3）-（1）得， ，∵，∴，
∴，，
把，
故，∴與實際的誤差為
（教師）：剛才我們算了一個比較小的誤差，現(xiàn)在這個誤差是更小的。
（教師）：（打開幾何畫板），如圖1墨綠線所示：
（教師）：從圖象中我們可以看到D點更加接近于曲線，所以說假如你們作為廠長的話，你們選擇的函數(shù)模型應(yīng)該是，以這個函數(shù)模型作為依據(jù)來估計以后幾
8、個月的需求量。由實際的趨勢我們也可以知道當(dāng)一種新的產(chǎn)品投入市場后的一段時間內(nèi)，假如產(chǎn)品好的話，肯定會比較暢銷。過了這段時間由于市場飽和及工廠設(shè)備或另一種新的產(chǎn)品出現(xiàn)等情況，必定要導(dǎo)致原來產(chǎn)品的平穩(wěn)期。所以說我們也應(yīng)該選擇這一函數(shù)模型。在剛才的函數(shù)模擬中有同學(xué)提出是否可以在式子前乘上一個系數(shù)，這是完全可以的。由于時間的關(guān)系我們就不繼續(xù)展開了，同學(xué)們可以在課后去研究一下是否可行。
實際上對于這樣一個具體的問題，我們假如繼續(xù)去模擬新的函數(shù)模型有可能會更加吻合。這里只能說沒有最好的，只有更好的，所以說答案也是不一定唯一的。馬爾薩斯人口增長模型也是在他經(jīng)過無數(shù)次的擬合后得到的一個模型。
下面我們來看
9、一下我們剛才的基本過程：（打開PPT）（如圖2）（說明：各方塊在PPT中是逐一出現(xiàn)的）
圖2
實行了新的課程之后，我們要學(xué)習(xí)的一門重要學(xué)科就是《研究性學(xué)習(xí)》。剛才的過程給了我們一個比較好的實例，如何來解決實際的問題，對于同學(xué)們搜集到的數(shù)據(jù)如何進行處理。
（打開PPT）小結(jié)：（1）（2）（3）（說明：小結(jié)部分可由學(xué)生自己總結(jié)得到）
作業(yè)：某廠生產(chǎn)一種機器的固定投入為萬元,但每生產(chǎn) 臺,需要另投入萬元.市場對此產(chǎn)品的需求量為臺,銷售收入函數(shù)為(萬元),其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺).
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
10、 (2)年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?
(3)年產(chǎn)量是多少時,工廠才不會虧本?
2 教學(xué)反思。
作為新課改下的一節(jié)研究性的課堂教學(xué)，主要有以下幾個理念的體現(xiàn)：
（1） 倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式
新課程里倡導(dǎo)的是學(xué)生的主動探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。這節(jié)課里的5種函數(shù)模型基本上都是學(xué)生在主動探索中來發(fā)現(xiàn)，這樣有助于發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。
（2） 注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力
同學(xué)們在運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題時，不斷地運用了直觀感知、數(shù)據(jù)處理、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、反思與建構(gòu)等思維過程。
（3） 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識
越來越多的學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)已經(jīng)是越來越?jīng)]用了。實際上數(shù)學(xué)越來越多地在生活、經(jīng)濟、政治、文化等領(lǐng)域中發(fā)揮了不可替代的作用。
（4） 與時俱進地體現(xiàn)“雙基”
我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。新課改要求著我們繼續(xù)發(fā)揚這種傳統(tǒng)，但也要適當(dāng)?shù)母淖儭＠缫恍┯嬎憧梢杂捎嫈?shù)器來完成，不加入一些人為性的計算技巧等。
（5） 注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合
現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。本節(jié)課中的散點圖以及各函數(shù)圖象如果不是在幾何畫板中來完成就會影響了時間又影響了各函數(shù)擬合效果。
高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案6 蘇教版必修1（通用）
