高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案7 蘇教版必修1（通用）

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1、函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征。知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。 2．了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。 3．能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 二、重難點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)模型；培養(yǎng)閱讀理解、建立數(shù)學(xué)模型和分析問題、解決問題的能力掌握解函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟。 難點(diǎn)：建立數(shù)學(xué)模型和分析問題、解決問題的能力的培養(yǎng)。 三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納。 四、教學(xué)過程 （一）、談新課標(biāo)要求及

2、考綱要求和高考命題考查情況，促使學(xué)生積極參與。 新課標(biāo)要求及考綱要求：1．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義； 2．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。 高考命題考查情況及預(yù)測(cè)：函數(shù)應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考查即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考查。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開

3、放題和信息題的考查力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。 預(yù)測(cè)2020年的高考，將再現(xiàn)其獨(dú)特的考查作用，而函數(shù)類應(yīng)用題，是考查的重點(diǎn)，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。 （1）題型多以大題出現(xiàn)，以實(shí)際問題為背景，通過解決數(shù)學(xué)問題的過程，解釋問題； （2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過它們的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來解釋生活現(xiàn)象，主要涉計(jì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)現(xiàn)象。 （二）、知識(shí)梳理整合，方法定位。（學(xué)生完成復(fù)資P25填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)） 1．我們學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)

4、主要有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、正（反）比例函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，我們要熟練掌握這些函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以便利用它們來解決一些非基本函數(shù)的問題。 2．用基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題的途徑： （1）化整為零：即將非基本函數(shù)“拆”成基本初等函數(shù)，以便用已知知識(shí)解決問題； （2）圖象變換：某些非基本函數(shù)的圖象可看成是由基本初等函數(shù)圖象通過圖象變換得到的，如果搞清了變換關(guān)系，便可借助基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)的問題。 3．函數(shù)的性質(zhì)主要：周期性、有界性、單調(diào)性、奇偶性等，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，可以解決方程、不等式方面的不少問題。 4．在解決某些應(yīng)用問題時(shí)，通常要用到一些函數(shù)模

5、型，它們主要是：一次函數(shù)模型、 二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等。 5.重難點(diǎn)問題探析：1．常見函數(shù)模型的理解：（1）直線模型，即一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升（的系數(shù)），通過圖象可很直觀地認(rèn)識(shí)它。（2）指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。（3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是開始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著的逐漸增大，其函數(shù)值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長(zhǎng)”。（4）冪函數(shù)模型：能用冪函數(shù)表示表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)情況隨

6、中的取值變化而定，常見的有二次函數(shù)模型。（5）“對(duì)勾” 函數(shù)模型：形如的函數(shù)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，常利用“基本不等式”解決，有時(shí)通過利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性來求最值。 2．構(gòu)建函數(shù)模型的基本步驟：（1）審題：弄清題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將文字語(yǔ)言、圖形（或者數(shù)表）等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義。 （三）、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1.一批物資要用11輛汽車從甲地運(yùn)到360千米外的乙地，若車速為v千米/時(shí)，則兩車的距離不能小于千

7、米.運(yùn)完這批物資至少需要（ ）。 A.10小時(shí)； B.11小時(shí)； C.12小時(shí)； D.13小時(shí) [解析] C；顯然11輛汽車之間的距離之和為千米，所以若車速為v千米/時(shí)，11 輛汽車從甲地運(yùn)到360千米外的乙地，需要時(shí)間為，而 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=” 2．甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在08年元月份時(shí)相同,甲以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比相同.到08年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠08年6月份的月產(chǎn)值大小，則有（ ）。 A. 甲的產(chǎn)值<乙的產(chǎn)值；B. 甲

8、的產(chǎn)值=乙的產(chǎn)值；C. 甲的產(chǎn)值>乙的產(chǎn)值 D.不能確定 [解析] C；設(shè)兩間工廠08年元月份的月產(chǎn)值為，甲廠每月增加的產(chǎn)值為，乙廠每個(gè)月 比前一個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比為，則依題意得，故 從而甲、乙兩間工廠在08年6月份的月產(chǎn)值的差為 ，故應(yīng)選C 3．計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年下降，那么今年花8100元買的一臺(tái)計(jì)算機(jī)，9年后的價(jià)格大約是 元. [解析]300元；根據(jù)題意，計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年的下降率為，故9年后的價(jià)格大約是 4．(2020廣東文)某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、 每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為

9、x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用 為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？ （注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝） [解析]設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則 , 令 得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值； 故為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。 5．某公司生產(chǎn)的品牌服裝年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件，需另投入1.9萬(wàn)元，設(shè)（單位：萬(wàn)元）為銷售收入，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，,其中是年產(chǎn)量（單位：千件） （1）寫出利潤(rùn)W與年產(chǎn)量的函數(shù)

10、解析式 （2）年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中獲利最大？ [解析]⑴W=R(x)-10-1.9x= （2）當(dāng)時(shí)，。令 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，； 故x=9處w有唯一極大值也是最大值； 當(dāng)時(shí)，w是減函數(shù)，所以年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中獲利最大。 （四）、小結(jié)反思：1．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問題。解答此類題型主要有如下三種方法： （1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解； （2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較； （3）描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。下面舉例進(jìn)行說明。