（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：8＋6分項(xiàng)練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 理

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1、（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：8＋6分項(xiàng)練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 理 1．(2018·貴陽(yáng)模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線(xiàn)，O是BE邊的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線(xiàn)， ∴＝， ∵O是BE邊的中點(diǎn)， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．若兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]

2、， 則由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2， 得(2a＋b)2＝12， 即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12， 所以a·b＝1，所以cos θ＝，所以θ＝. 3．(2018·上饒模擬)設(shè)D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且BC＝2，則·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝||＝2，〈，〉＝60°， ∵D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ∴·＝·＝· ＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝. 4．(2018·南昌模擬)在《周易》中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻．有放回地取陽(yáng)爻和陰

3、爻三次合成一卦，共有23＝8(種)組合方法，這便是《系辭傳》所說(shuō)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有兩種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次有八種情況．所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析．在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)陰爻的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在一次所謂“算卦”中得到六爻， 基本事件的總數(shù)為n＝26＝64， 這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件數(shù)為m＝C＝20， 所以這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)

4、陰爻的概率是P＝＝＝. 5．(2018·聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線(xiàn)AD的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，則·＋·的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0,2)． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故·＋·＝·＝2·＝2 ＝2－2≥－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)等號(hào)成立． 所以·＋·的最小值為－2. 6．(2018·大連模擬)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)

5、下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí) 500名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)(00且 即x2＋y2>1且 面積為1－， 因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)能與1構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，

6、y)的個(gè)數(shù)m＝113， 所以＝1－，所以π＝. 7．(2018·南平質(zhì)檢)我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機(jī)》等10部算書(shū)，被稱(chēng)為“算經(jīng)十書(shū)”．某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣．一天，他們根據(jù)最近對(duì)這十部書(shū)的閱讀本數(shù)情況說(shuō)了這些話(huà)，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷?，有趣的是，他們說(shuō)的這些話(huà)中，只有一個(gè)人說(shuō)的是真實(shí)的，而這個(gè)人正是他們四個(gè)人中讀書(shū)本數(shù)最少的一個(gè)(他們四個(gè)人對(duì)這十部書(shū)閱讀本數(shù)各

7、不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書(shū)本數(shù)由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說(shuō) 丁>乙 乙說(shuō) 甲>丙 丙說(shuō) 丙>丁 丁說(shuō) 丙>乙 對(duì)于選項(xiàng)A，甲，丁說(shuō)的都對(duì)，不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，丙，丁說(shuō)的都對(duì)，也不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，乙說(shuō)的對(duì)，但乙不是最少的，不符合；對(duì)于選項(xiàng)D，甲說(shuō)的對(duì)，也正好是最少的，符合，選D. 8．已知在三角形ABC中，AB

8、別為方程x2－2(1＋)x＋4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若斜邊BC上有異于端點(diǎn)的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF＝1，∠EAF＝θ，則tan θ的取值范圍為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意可知AB＝2，AC＝2， BC＝＝4. 建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)． 設(shè)＝λ，λ∈，＝， 則F(2－2λ，2λ)，E. 所以·＝(2－2λ，2λ)· ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ ＝16λ2－4λ＋3＝162＋∈. 因?yàn)辄c(diǎn)A到BC邊的距離d＝＝， 所以△AEF的面積S△AEF＝EF·＝為定值． 所以＝＝tan

9、θ， 故tan θ＝＝∈，故選C. 9．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則a在a＋b方向上的投影為_(kāi)_______． 答案　 解析　由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝＝2， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64， 則a·b＝－7， 所以a在a＋b方向上的投影為 ＝ ＝＝. 10．(2018·東北師大附中模擬)《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問(wèn)：五人各得幾何？”其意思為：有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少個(gè)橘子．這個(gè)

10、問(wèn)題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是________． 答案　18 解析　設(shè)第一個(gè)人分到的橘子個(gè)數(shù)為a1， 由題意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6， 則a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18. 11．(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|＝1，|b|＝，則向量a－2b與a的夾角為_(kāi)_______． 答案　 解析　a·b＝cos ＝， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝， |a－2b|＝ ＝＝＝1. 設(shè)向量a－2b與a的夾角為θ，cos θ＝＝， 又因?yàn)棣取蔥0，π]， 所以θ＝. 12．(2018·寧德質(zhì)檢)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家張丘

11、建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個(gè)解不定方程的百雞問(wèn)題，問(wèn)題如下：雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一．百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解．其解題過(guò)程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)m的值為_(kāi)_______． 答案　4 解析　由得y＝25－x， 故x必為4的倍數(shù)， 當(dāng)x＝4t時(shí)，y＝25－7t， 由y＝25－7t>0得，t的最大值為3， 故判斷框應(yīng)填入的是t<4？， 即m＝4. 13．(2018·湘潭模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古

12、代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有倉(cāng)，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬(wàn)斛，問(wèn)高幾何？”其意思為：“今有一個(gè)長(zhǎng)方體(記為ABCD－A1B1C1D1)的糧倉(cāng)，寬3丈(即AD＝3丈)，長(zhǎng)4丈5尺，可裝粟一萬(wàn)斛，問(wèn)該糧倉(cāng)的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是________．(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①該糧倉(cāng)的高是2丈； ②異面直線(xiàn)AD與BC1所成角的正弦值為； ③長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面積為π平方丈． 答案?、佗? 解析　由題意，因?yàn)?0 000×2.7＝30×45×AA1，解得AA1＝20(尺)＝2(丈)，故①正確；

13、 異面直線(xiàn)AD與BC1所成角為∠CBC1， 則sin∠CBC1＝＝，故②錯(cuò)誤， 此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4.5丈、3丈、2丈， 故其外接球的表面積為 4π2＝π(平方丈)， 所以③是正確的． 14．(2018·咸陽(yáng)模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個(gè)點(diǎn)，且＋＝，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點(diǎn)共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝AB·AC≤· ＝AD2， ∴當(dāng)AD是圓的直徑時(shí)，△ABC的面積最大． ∴當(dāng)AB＝AC 時(shí)， △ABC的面積取得最大值×4＝1.