2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一比較法學(xué)習(xí)目標1.理解比較法證明不等式的理論依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟.3.體會比較法所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法知識點一作差比較法思考比差法的理論依據(jù)是什么？答案abab0；abab0；abab0.梳理作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù)：ab0ab；ab0ab；ab0ab.(2)作差比較法解題的一般步驟：作差；變形整理；判定符號；得出結(jié)論其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定與0的大小關(guān)系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等知識點二作商比較法思考1對于兩個正數(shù)a，b，若1，能夠判斷a，b的大小嗎？答案能，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，對于

2、正數(shù)a，b，1ab.思考2類比作差比較法，請談?wù)勛魃瘫容^法答案對于正數(shù)a，b，1ab；1ab；1ab.梳理(1)作商比較法：若a0，b0，要證明ab，只要證明1；要證明ba，只要證明1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法(2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：b0，若1，則ab；若1，則ab；b0，若1，則ab；若1，則ab.(3)作商比較法解題的一般步驟：判定a，b符號；作商；變形整理；判定與1的大小關(guān)系；得出結(jié)論.類型一作差比較法證明不等式例1已知正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2b2c2(abc)2.證明因為正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，b，又(a2b2c2)(abc

3、)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20，所以a2b2c2(abc)2.反思與感悟作差比較法的關(guān)鍵是作差后的變形，一般通過分解因式或?qū)⒉钍睫D(zhuǎn)化為積商式，以便與0比較大小跟蹤訓(xùn)練1已知a1，求證：.證明()()0，.類型二作商比較法證明不等式例2已知a0，b0，求證：aabb.證明因為aabb0，0，所以.當ab時，顯然有1；當ab0時，1，0，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，1；當ba0時，01，0，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，1.綜上可知，對任意實數(shù)a，b，都有aabb.引申探究1若a0，b0，求證：abba.證明因為abba0，0，所以所以當

4、ab時，顯然有當ab0時，1，0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得01；當ba0時，01，0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得01，綜上可知，對任意a0，b0，都有abba.2當a0，b0時，比較aabb與abba的大小解由例2和探究1知，aabbabba.反思與感悟作商比較法證明不等式的一般步驟(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商(2)變形：化簡商式到最簡形式(3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.(4)得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知a0，b0，求證：.證明.又a2b22ab，1，當且僅當ab0時取等號，.類型三比較法的應(yīng)用例3證明：若a，b，m都是正數(shù)，并且ab，則(糖水不等式

5、)證明.a，b，m都是正數(shù)，且ab，ba0，b(bm)0，0，即0，.反思與感悟比較法理論上便于理解，實用時便于操作，故應(yīng)用比較廣泛跟蹤訓(xùn)練3甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達指定地點？解設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20，即t1t2.從而知甲比乙先到達指定地點1已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)

6、；a2b22(ab1)其中正確的個數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析x232x(x1)220，故正確；取ab1，則a5b52，a3b2a2b32，故不正確；a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正確2.1成立的充要條件是()Aa1Ba0Ca0Da1或a0答案D解析1100a0或a1.3若x，yR，記wx23xy，u4xyy2，則()AwuBwuCwuD無法確定答案C解析wux2xyy220，wu.4a，b都是正數(shù)，P，Q，則P，Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案D解析a，b都是正數(shù)，P0，Q0，P2Q22()20.(當且僅當ab時取等號)P2Q20，PQ.5設(shè)ab0，求證：

7、.證明方法一0(ab0)，原不等式成立方法二ab0，a2b20.左邊0，右邊0.11.原不等式成立1作差比較法證明不等式的技巧(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號，常將差式變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當所得的差式是某字母的二次三項式時，常用判別式法判斷符號2適用作商比較法證明的不等式的特點適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等式或某些不同底數(shù)對數(shù)值的大小比較一、選擇題

8、1設(shè)a，bR，且ab，若P，Qab，則()APQBPQCPQDPQ答案B解析PQab.因為a，bR，且ab，所以PQ0.2已知ab1，則與的大小關(guān)系為()A.B.C.D.答案B解析0，.3已知ab0，cd0，m，n，則m與n的大小關(guān)系是()AmnBmnCmnDmn答案C解析m2n2(ac2bd)(acbdadbc)ad2bc()20，m2n2.又m0，n0，mn.4當ab0時，下列關(guān)系式中成立的是()A.Blgb2lga2C.1D.答案B解析方法一取特殊值a4，b1，則選項A，C，D不正確，選項B正確，故選B.方法二ab0，a2b2.而函數(shù)ylgx(x0)為增函數(shù)，lgb2lga2，B項正確5

9、已知a0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，則P，Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQD大小不確定答案A解析PQloga(a31)loga(a21)loga.當0a1時，0a31a21，則01，loga0，即PQ0.PQ.當a1時，a31a210，1，loga0，即PQ0.PQ.綜上可知，PQ.6已知ab0且ab1，設(shè)c，Plogca，Nlogcb，Mlogc(ab)，則()APMNBMPNCNPMDPNM答案A解析令a2，b，則c，則Mlogc(ab)0，Plog20，Nlog0，PMN.二、填空題7設(shè)abc0，x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系為_答案xyz解析abc0，

10、x0，y0，z0.而x2y2a2b22bcc2(b2c22aca2)2bc2ac2c(ba)0，x2y2，即xy；又y2z2b2(ca)2c2(ab)22ac2ab2a(cb)0，yz.xyz.8已知a0,0b1，abab，則與的大小關(guān)系是_答案解析a0,0b1，abab，(1a)(1b)1abab1.從而1，.9某家電廠家為了打開市場，促進銷售，準備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電進行降價銷售，現(xiàn)有四種降價方案：(1)先降價a%，再降價b%；(2)先降價b%，再降價a%；(3)先降價%，再降價%；(4)一次性降價(ab)%.其中a0，b0，且ab，則上述四種方案中，降價幅度最小的是_答案方案(3)解

11、析設(shè)降價前彩電的價格為1，按四種方案降價后彩電的價格依次為x1，x2，x3，x4，則x1(1a%)(1b%)1(ab)%a%b%；x2(1b%)(1a%)x1；x31(ab)%2；x41(ab)%1(ab)%a%b%x1x2.又x3x12a%b%0，x3x1x2x4.故降價幅度最小的是方案(3)三、解答題10設(shè)a，b為非負實數(shù)，求證：a3b3(a2b2)證明由a，b是非負實數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5當ab時，從而()5()5，則()()5()50；當ab時，從而()5()5，則()()5()50，所以a3b3(a2b2)11已知b，m1，m2都是正數(shù)，ab，

12、m1m2，求證：.證明.因為b0，m10，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，m1m2，所以ab0，m2m10，從而(ab)(m2m1)0.于是0，所以.12已知函數(shù)f(x)|x1|x1|，P為不等式f(x)4的解集(1)求P；(2)證明：當m，nP時，|mn4|2|mn|.(1)解f(x)|x1|x1|由f(x)4，得x2或x2.所以不等式f(x)4的解集Px|x2或x2(2)證明由(1)可知|m|2，|n|2，所以m24，n24，(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0，所以(mn4)24(mn)2，所以|mn4|2|mn|.13若實數(shù)x，y，m滿足|xm|ym|，則稱x比y

13、接近m.對任意兩個不相等的正數(shù)a，b，證明：a2bab2比a3b3接近2ab.證明因為a0，b0，且ab，所以a2bab22ab，a3b32ab.所以a2bab22ab0，a3b32ab0.所以|a2bab22ab|a3b32ab|a2bab22aba3b32aba2bab2a3b3a2(ba)b2(ab)(ab)(b2a2)(ab)2(ab)0，所以|a2bab22ab|a3b32ab|，所以a2bab2比a3b3接近2ab.四、探究與拓展14已知a2，求證：loga(a1)log(a1)a.證明a2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)22.a2，0loga(a21)logaa22.221.即1.log(a1)a0，loga(a1)log(a1)a.11