（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)講義（含解析）

《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)講義（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)講義（含解析）（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)講義（含解析） 1．角的定義 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形． 2．角的分類 角的分類 3．終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．(　　) (2)三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角．(　　) (3)終邊在y＝x上的角構(gòu)成的集合可表示為αα＝

2、＋kπ，k∈Z.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、填空題 1．與角2 020°的終邊相同，且在0°～360°內(nèi)的角是________． 解析：因?yàn)? 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°內(nèi)終邊與2 020°的終邊相同的角是220°. 答案：220° 2．已知角α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且β＝－，則sin α＝________. 解析：因?yàn)榻铅僚cβ的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)， 則α＝2kπ＋π，k∈Z. 所以sin α＝sin π＝. 答案： 3．已知α是第二象限角，則180°－α是第________

3、象限角． 解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)．所以180°－α為第一象限角． 答案：一 象限角及終邊相同的角 (1)要使角β與角α的終邊相同，應(yīng)使角β為角α與π的偶數(shù)倍(不是整數(shù)倍)的和． (2)注意銳角(集合為{α|0°<α<90°})與第一象限角(集合為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z})的區(qū)別，銳角是第一象限角，僅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不

4、一定是銳角． 1．(2019·長(zhǎng)春普通高中一模)若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　因?yàn)橹本€y＝－x的傾斜角是，所以終邊落在直線y＝－x上的角的取值集合為α.故選D. 2．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________________． 解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 從而k＝

5、－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° 3．若角α是第二象限角，則是第________象限角． 解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 答案：一或三 1．象限角的兩種判斷方法 (1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角． (2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．

6、 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)兩邊同除以n或乘以n. (3)對(duì)k進(jìn)行討論，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，則角α與角β的終邊的位置關(guān)系是(　　) A．重合　　　　　　　　 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱 解析：選C　由題意知角α與角θ的終邊相同，角β與角－θ的終邊相同，又角θ與角－θ的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以角α與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱． 2．設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos ，則是(　　) A．第一象限角 B．

7、第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：選B　由θ是第三象限角，知為第二或第四象限角，∵＝－cos ， ∴cos ≤0，綜上知為第二象限角． 突破點(diǎn)二　弧度制及應(yīng)用 1．弧度制的定義 把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. 2．弧度制下的有關(guān)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長(zhǎng)用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形半徑的大小

8、無關(guān)．(　　) (2)1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弦所對(duì)圓心角的大小．(　　) (3)60°＝ rad.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 二、填空題 1．一條弦的長(zhǎng)度等于半徑，這條弦所對(duì)圓心角大小為________弧度． 解析：弦與兩條半徑構(gòu)成等邊三角形，圓心角為. 答案： 2．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)等于________． 解析：設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l， 則解得 答案： 1．已知扇形弧長(zhǎng)為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2. 解析：由弧長(zhǎng)公式l＝|α|r，得r＝＝， ∴S扇形＝lr＝×20×＝.

9、 答案： 2．一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的，則扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為________． 解析：設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為，記扇形的圓心角為α，則＝， 所以α＝，所以扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為＝＝. 答案： 弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長(zhǎng)及扇形面積公式，在使用公式時(shí)，要注意角的單位必須是弧度． (2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解． 1．已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．

10、1　　　　　　　 B．4 C．1或4 D．2或4 解析：選C　設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 2．(2019·平羅月考)已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)它的面積最大時(shí)，它的圓心角的弧度數(shù)為________． 解析：因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為20，所以l＋2r＝20，即l＝20－2r，所以扇形的面積S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以當(dāng)半徑r＝5時(shí)，扇形的面積最大為25，此時(shí)α＝2(rad)． 答案：2 3.(2018·湖北黃石三中階段性檢測(cè))分別以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B，C為圓心，1為半徑作圓弧AC，

11、BD，兩弧交于點(diǎn)E，則曲邊三角形ABE的周長(zhǎng)為________． 解析：連接BE，CE.因?yàn)閮蓤A弧所在圓的半徑都是1，正方形邊長(zhǎng)也是1，所以△BCE為正三角形，所以圓心角∠EBC，∠ECB都是，∠EBA＝－＝.所以弧BE的長(zhǎng)為×1＝，弧AE的長(zhǎng)為×1＝，所以曲邊三角形ABE的周長(zhǎng)是1＋＋＝1＋. 答案：1＋ 突破點(diǎn)三　任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 叫做α的正弦，記作sin α 叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ

12、＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)若角θ的終邊在直線y＝2x上，則tan α＝2.(　　) (2)若sin θcos θ>0，則θ在第一象限內(nèi)．(　　) (3)0<α<，則sin α

13、2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)A在第二象限，則cos α＝________. 解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案：－ 3．比較大?。?填“>”、“<”或“＝”) (1)sin ________cos ； (2)sin ________cos ； (3)sin ________tan . 答案：(1)＝　(2)<　(3)> 考法一　三角函數(shù)值的符號(hào)判斷　 [例1]　(1)若sin αtan α<0，且<0，則角α

14、是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)(2019·沈陽重點(diǎn)高中期末聯(lián)考)設(shè)a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，則(　　) A．c>b>a　　　　　　 B．b>c>a C．a(chǎn)>b>c D．c>a>b [解析]　(1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號(hào)，則α為第二象限角或第三象限角．由<0可知cos α，tan α異號(hào)，則α為第三象限角或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角． (2)b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a，c＝tan 35°>sin 35°＝b，

15、∴c>b>a.故選A. [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 1．三角函數(shù)值符號(hào)及角的位置判斷 已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況． 2．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．　　 考法二　三角函數(shù)的定義　 [例2]　(1)(2018·榆林第一次測(cè)試)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，－，則cos α·tan α的值是(　　) A．－ B. C．－

16、 D. (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，cos α＝－，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________． [解析]　(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P， 所以cos α＝，tan α＝－，所以cos α·tan α＝×＝－. (2)∵cos α＝－，∴sin α＝＝， ∴A. [答案]　(1)A　(2) [方法技巧] 三角函數(shù)定義應(yīng)用策略 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解． (3)已知角α

17、的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值． (4)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．　　 考法三　三角函數(shù)線的應(yīng)用　 [例3]　函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域?yàn)開_______． [解析]　 ∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<，∴－

18、線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．　　 1.設(shè)角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，則“α的終邊在第一、二象限”是“sin α>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　α的終邊在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的終邊在第一、二象限或y軸的正半軸上，故“α的終邊在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要條件．故選A. 2.已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin 150°，cos 1

19、50°)，則α＝(　　) A．150° B．135° C．300° D．60° 解析：選C　sin 150°＝>0，cos 150°＝－<0，角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，故該點(diǎn)在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sin α＝－，又0°≤α<360°，所以角α為300°，故選C. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，m)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 解析：60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，m)，∴tan 60°＝，∵tan 60°＝，∴m＝. 答案： 4.在(0,2π)內(nèi)，使sin x>cos x成立的x的取值范圍為____________________． 解析：如圖所示，找出在(0,2π)內(nèi)，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角x∈. 答案：