（新課改省份專(zhuān)用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十八）空間幾何體及表面積與體積（含解析）

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1、（新課改省份專(zhuān)用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十八）空間幾何體及表面積與體積（含解析） 1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法中不正確的是(　　) A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等 B．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等 C．三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形 D．有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等 解析：選B　根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等． 2．一個(gè)球的表面積為16π，那么這個(gè)球的體積為(　　) A.π　　　　　　 B.π C．16π D．24π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個(gè)球的體積為πR3＝π. 3．如圖所示，等腰△A′B′C′是△A

2、BC的直觀圖，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選B　由題圖知A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，由斜二測(cè)畫(huà)法知，在△ABC中，AC∥y軸，AB∥x軸，∴AC⊥AB.又因?yàn)锳′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形． 4．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn) 解析：選D

3、　當(dāng)一個(gè)幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成時(shí)，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線(xiàn)，所得幾何體就不是圓錐，故B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤．選D. 5．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 解析：選C　如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠A

4、C1B為直線(xiàn)AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，∴V長(zhǎng)方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8. 6．下列幾何體是棱臺(tái)的是________(填序號(hào))． 解析：①③都不是由棱錐截成的，不符合棱臺(tái)的定義，故①③不滿(mǎn)足題意．②中的截面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故②不滿(mǎn)足題意．④符合棱臺(tái)的定義，故填④. 答案：④ [B級(jí)　難度題——適情自主選做] 1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(　　) 解析：選A　由直觀圖

5、可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2. 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π. 3．若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為l的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比為(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3 解析：選C　底面半徑r＝l＝l，故圓錐的S側(cè)＝πl(wèi)2，S表＝πl(wèi)2＋π2＝πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為4∶3. 4．(2018·全國(guó)

6、卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：選B　設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故選B. 5．已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 解析：選A　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以該球的表面積為4πr2＝4π×2＝.

7、6．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：選B　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18. 7．(2018·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______． 解析

8、：由題意知所給的幾何體是棱長(zhǎng)均為的八面體，它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐＝2××()2×1＝. 答案： 8.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)，六根等長(zhǎng)的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(kāi)_______．(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π) 解析：該球形容器最小時(shí)，兩個(gè)正四棱柱組成的四棱柱與球內(nèi)接，此時(shí)球的直徑2R等于四棱柱的體對(duì)角線(xiàn)，

9、即2R＝＝，故球形容器的表面積為4πR2＝30π. 答案：30π 9．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線(xiàn)SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，∵SA與底面成45°角，∴△SAO為等腰直角三角形． 設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝， ∴sin∠ASB＝， ∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2， ∴SA＝r＝4，即母線(xiàn)長(zhǎng)l＝4， ∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×4＝40π. 答案：40π [C級(jí)　難度

10、題——適情自主選做] 1.如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為4，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱． (1)求圓柱的側(cè)面積； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？ 解：(1)如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r.S圓柱側(cè)＝2πr·x.① ∵＝，∴r＝(4－x)．② ②代入①，S圓柱側(cè)＝2πx·(4－x)＝π(－x2＋4x)(0

11、能折成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì))，其中OEMF是以O(shè)為圓心、∠EOF＝120°為圓心角的扇形，且弧，分別與邊BC，AD相切于點(diǎn)M，N. (1)當(dāng)BE的長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折成的包裝盒的容積； (2)當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折成的包裝盒的容積最大？ 解：(1)在題圖甲中，連接MO交EF于點(diǎn)T.設(shè)OE＝OF＝OM＝R分米， 在Rt△OET中，因?yàn)椤螮OT＝∠EOF＝60°， 所以O(shè)T＝，則MT＝OM－OT＝. 從而B(niǎo)E＝MT＝，即R＝2BE＝2. 故所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF ＝πR2－R2sin 120°＝平方分米． 又柱體

12、的高EG＝4分米， 所以V＝S·EG＝立方分米． 故當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，折成的包裝盒的容積為立方分米． (2)設(shè)BE＝x分米，則R＝2x分米， 所以所得柱體的底面積 S＝S扇形OEF－S△OEF＝πR2－R2sin 120°＝x2平方分米． 又柱體的高EG＝(6－2x)分米， 所以V＝S·EG＝(－x3＋3x2)，其中0＜x＜3. 令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)， 則由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x (0,2) 2 (2,3) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值  所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極大值，也是最大值． 故當(dāng)BE的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折成的包裝盒的容積最大．