（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義（含解析） 三角函數(shù) 正弦函數(shù)y＝sin x 余弦函數(shù)y＝cos x 正切函數(shù)y＝tan x 圖象 定義域 R R xx∈R，且x 值域 [－1,1] [－1,1] R 最值 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ(k∈Z)時，取得最小值－1 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時，取得最小值－1 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)函數(shù)y＝si

2、n x在x∈內(nèi)的最大值為1.(　　) (2)函數(shù)y＝tan的定義域為x≠－.(　　) (3)函數(shù)y＝的定義域為x∈，k∈Z.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 二、填空題 1．y＝的定義域為________________________． 解析：要使函數(shù)式有意義，需2sin x－≥0，即sin x≥，借助正弦函數(shù)的圖象(圖略)，可得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以該函數(shù)的定義域是(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 2．函數(shù)y＝2cos，x∈的值域為________． 解析：∵－

3、s，x∈的值域為(－1,2)． 答案：(－1,2) 3．函數(shù)y＝tan的值域為________． 解析：∵－≤x≤且x≠0，∴≤－x≤且－x≠.由函數(shù)y＝tan x的單調(diào)性，可得y＝tan的值域為(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞) 考法一　三角函數(shù)的定義域　 [例1]　(2019·德州月考)x∈[0,2π]，y＝＋的定義域為(　　) A.　　　　　 　　B. C. D. [解析]　法一：由題意，所以函數(shù)的定義域為.故選C. 法二：x＝π時，函數(shù)有意義，排除A、D；x＝π時，函數(shù)有意義，排除B.故選C. [答案]

4、　C [方法技巧] 三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． [提醒]　解三角不等式時要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　　 考法二　三角函數(shù)的值域(最值)　 [例2]　(1)(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 (2)(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是_

5、_______． (3)函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域為________． [解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋， ∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4.故選B. (2)依題意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1， 因為x∈，所以cos x∈[0,1]， 因此當(dāng)cos x＝時，f(x)max＝1. (3)設(shè)t＝sin x－cos x， 則t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝，且－1≤t≤.

6、 ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 當(dāng)t＝1時，ymax＝1；當(dāng)t＝－1時，ymin＝－1. ∴函數(shù)的值域為[－1,1]． [答案]　(1)B　(2)1　(3)[－1,1] [方法技巧]　三角函數(shù)值域或最值的3種求法 直接法 形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函數(shù)，直接利用sin x，cos x的值域求出 化一法 形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函數(shù)，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值) 換元法 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化

7、為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值) 1.函數(shù)y＝log2(sin x)的定義域為________． 解析：根據(jù)題意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)． 答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z) 2.(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為________． 解析：f(x)＝2cos x＋sin x＝ ＝sin(x＋α)(其中tan α＝2)， 故函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin

8、x的最大值為. 答案： 3.求函數(shù)y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最值． 解：令t＝sin x＋cos x，則t∈[－，]． ∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1， ∴sin xcos x＝， ∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]， ∵對稱軸t＝－∈[－， ]， ∴ymin＝f＝×－－＝－， ymax＝f()＝＋. 突破點二　三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 2kπ－，2kπ＋

9、為增； 2kπ＋，2kπ＋為減，k∈Z [2kπ，2kπ＋π]為減；[2kπ－π，2kπ]為增，k∈Z kπ－，kπ＋為增，k∈Z 對稱中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 對稱軸 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)函數(shù)y＝sin x的圖象關(guān)于點(kπ，0)(k∈Z)中心對稱．(　　) (2)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　) (3)y＝sin|x|是偶函數(shù)．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 二、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期為π，則ω

10、＝________. 答案：2 2．函數(shù)y＝cos的單調(diào)遞減區(qū)間為________． 解析：由y＝cos＝cos， 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 3．若函數(shù)f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝________. 解析：由已知f(x)＝sin是偶函數(shù)，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)， 又φ∈[0,2π]，所以φ＝. 答案： 考法一　三角函數(shù)的單調(diào)性　 考向一　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 [例1]　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝

11、|tan x|； (2)f(x)＝cos，x∈. [解]　(1)觀察圖象可知，y＝|tan x|的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間是kπ－，kπ，k∈Z. (2)當(dāng)2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z時，函數(shù)f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)． 因此函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是－，，單調(diào)遞減區(qū)間為，. [方法技巧]　求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法 代換法 就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解

12、 圖象法 畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間 [提醒]　求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若x的系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先化為正，同時切莫忽視函數(shù)自身的定義域． 考向二　已知單調(diào)性求參數(shù)值或范圍 [例2]　(1)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．2 D．3 (2)(2019·綿陽診斷)若f(x)＝cos 2x＋acos＋x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． [解析]　(1)因為f(x)＝sin ωx(ω>0)過原點， 所以當(dāng)0≤ωx≤， 即0≤x≤時，y

13、＝sin ωx是增函數(shù)； 當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時， y＝sin ωx是減函數(shù)． 由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減知，＝，所以ω＝. (2)f(x)＝1－2sin2x－asin x， 令sin x＝t，t∈，則g(t)＝－2t2－at＋1，t∈， 因為f(x)在上單調(diào)遞增，所以－≥1，即a≤－4. [答案]　(1)B　(2)(－∞，－4] [方法技巧] 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的3種方法 子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某

14、個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 周期性法 由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解 考法二　三角函數(shù)的周期性　 [例3]　(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為(　　) A. B. C．π D．2π [解析]　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. [答案]　C [方法技巧]　　 三角函數(shù)周期的求解方法 公式法 (1)三角函數(shù)y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分別為2π，2π，π； (2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ

15、)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為 圖象法 利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．如：相鄰兩最高點(最低點)之間為一個周期，最高點與相鄰的最低點之間為半個周期 考法三　三角函數(shù)的奇偶性　 [例4]　(1)(2018·棗莊一模)函數(shù)y＝1－2sin2x－是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) (2)函數(shù)f(x)＝3sin，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)y＝1－2sin2 ＝cos＝cos ＝－sin 2

16、x， 故函數(shù)y是最小正周期為π的奇函數(shù)，故選A. (2)因為f(|x|)＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝3sin是偶函數(shù)， 所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 所以φ＝kπ＋，k∈Z， 又因為φ∈(0，π)，所以φ＝. [答案]　(1)A　(2)C [方法技巧] 與三角函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論 三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．常見的結(jié)論有： (1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若

17、y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．　　 考法四　三角函數(shù)的對稱性　 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函數(shù)的圖象對稱軸或?qū)ΨQ中心時，都是把“ωx＋φ”看作一個整體，然后根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心列方程進(jìn)行求解． (2)在判斷對稱軸或?qū)ΨQ中心時，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè)y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是對稱軸方程?f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是對稱中心?f(x0

18、)＝0，g(x0)＝0. [例5]　(1)(2019·南昌十校聯(lián)考)函數(shù)y＝sin的圖象的一個對稱中心是(　　) A．(－π，0) B. C. D. (2)(2019·合肥聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin－cos 2x的圖象的一條對稱軸的方程可以是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ [解析]　(1)令x－＝kπ，k∈Z，得函數(shù)圖象的對稱中心為，k∈Z. 當(dāng)k＝－1時，y＝sin的圖象的一個對稱中心為.故選B. (2)f(x)＝sin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，可得x＝π＋π(k∈Z)．令k＝1可得函數(shù)圖象

19、的一條對稱軸的方程是x＝π. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧]　三角函數(shù)對稱性問題的2種求解方法 定義法 正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數(shù)的零點 公式法 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－＋，對稱中心為；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－，對稱中心為；函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為.上述k∈Z 1.已知函數(shù)f(x)＝2sin，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：選D　依題意，f(x)＝2

20、sin＝－2sin2x－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，故－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．故選D. 2.若函數(shù)f(x)＝2asin(2x＋θ)(0<θ<π)，a是不為零的常數(shù)，f(x)在R上的值域為[－2,2]，且在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則a和θ的值是(　　) A．a(chǎn)＝1，θ＝ B．a(chǎn)＝－1，θ＝ C．a(chǎn)＝1，θ＝ D．a(chǎn)＝－1，θ＝ 解析：選B　∵sin(2x＋θ)∈[－1,1]，且f(x)∈[－2,2]，∴2|a|＝2，∴a＝±1.當(dāng)a＝1時，f(x)＝2sin(2x＋θ)，其最小正周期T＝＝π，∵f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

21、，且－＝，為半個周期，∴f(x)max＝f＝2sin＝2，∴θ－π＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．又0<θ<π，∴a＝1不符合題意，舍去．當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－2sin(2x＋θ)在－π，上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f＝－2sin＝2，∴sin＝－1，∴θ－π＝2kπ－(k∈Z)，θ＝2kπ＋(k∈Z)．又∵0<θ<π，∴當(dāng)k＝0時，θ＝，∴a＝－1，θ＝.故選B. 3.下列函數(shù)中，周期為π，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos D．y＝sin 解析：選C　y＝sin＝－cos 2x為偶函數(shù)，排除A；y＝cos＝sin 2x在上為減函數(shù)，排除B；y＝cos＝－sin 2x為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且周期為π，符合題意；y＝sin＝cos x為偶函數(shù)，排除D.故選C. 4.已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)－<φ<的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B　由題意得f＝sin＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z. ∵φ∈， ∴φ＝－.