（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 第二節(jié) 二項式定理講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 第二節(jié) 二項式定理講義（含解析） 1．二項式定理 二項展開式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二項式定理 二項式的通項 Tk＋1＝Can－kbk為展開式的第k＋1項 2.二項式系數(shù)與項的系數(shù) 二項式系數(shù) 二項展開式中各項的系數(shù)C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1項的二項式系數(shù) 項的 系數(shù) 項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念．如(a＋bx)n的展開式中，第r＋1項的系數(shù)是Can－rbr

2、 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)Can－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項．(　　) (2)在(a＋b)n的展開式中，每一項的二項式系數(shù)與a，b無關．(　　) (3)(a＋b)n展開式中某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、填空題 1.10的展開式中x2的系數(shù)等于________． 答案：45 2．在6的展開式中，常數(shù)項為________． 答案：240 3.8的展開式中的有理項共有________項． 答案：3 考法一　形如(a＋b)n的展開式問題　 [例1]　(1)(2018·全國

3、卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10　　　　　　　　 　B．20 C．40 D．80 (2)(2019·陜西黃陵中學月考)6的展開式中常數(shù)項為(　　) A. B．160 C．－ D．－160 [解析]　(1)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展開式中x4的系數(shù)為C·22＝40. (2)6的展開式的通項Tr＋1＝Cx6－rr＝rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以展開式中的常數(shù)項是T4＝3C＝，選A. [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 二項展開式問題的常見類型

4、及解法 (1)求展開式中的特定項或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第k＋1項，再由特定項的特點求出k值即可． (2)已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k＋1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù)．　　 考法二　形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題　 [例2]　(1)(2018·廣東一模)(1＋2x)5的展開式中，x3的系數(shù)為(　　) A．120 B．160 C．100 D．80 (2)(2019·陜西兩校聯(lián)考)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 [解析]　(1)(

5、1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5的展開式中含x3的項為x·C(2x)2＝40x3，(1＋2x)5的展開式中含x3的項為·C(2x)4＝80x3，∴x3的系數(shù)為40＋80＝120.故選A. (2)根據(jù)(1＋x)8和(1＋y)4的展開式的通項公式可得，x2y2的系數(shù)為CC＝168.故選D. [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路 (1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解． (2)觀察(a＋b)(c＋d)是否

6、可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮．　　 考法三　形如(a＋b＋c)n的展開式問題　 [例3]　(1)(2019·棗陽模擬)(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．10　　　　　　　　　 　B．20 C．30 D．60 (2)(2019·太原模擬)5的展開式中常數(shù)項是________． [解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr， 令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2， 又

7、(x2＋x)3的展開式的通項為C(x2)3－k·xk＝Cx6－k， 令6－k＝5，則k＝1， 所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C. (2)由5＝5，則其通項公式為(－1)5－rCr(0≤r≤5)，其中r的通項公式為2r－tCxr－2t(0≤t≤r)． 令r－2t＝0，得或或 所以5的展開式中的常數(shù)項為(－1)5C＋(－1)3C×2C＋(－1)1C×22C＝ －161. [答案]　(1)C　(2)－161 三項展開式問題的破解技巧 破解(a＋b＋c)n的展開式的特定項的系數(shù)題，常用如下技巧：若三項能用完全平方公式，那當然比較簡單；若三

8、項不能用完全平方公式，只需根據(jù)題目特點，把“三項”當成“兩項”看，再利用二項展開式的通項公式去求特定項的系數(shù)．　　　　 1.(＋)100的展開式中，無理數(shù)項的個數(shù)是(　　) A．84 B．85 C．86 D．87 解析：選A　(＋)100展開式的通項為Tr＋1＝C()100－r·()r＝C250－×3，r＝0,1,2，…，100， 所以當r是6的倍數(shù)時，Tr＋1為有理項， 所以r＝0,6,12，…，96，共17項， 因為展開式共有101項，所以展開式中無理項的個數(shù)是101－17＝84.故選A. 2.(x2－2)5的展開式中x－1的系數(shù)為(　　) A．60 B

9、．50 C．40 D．20 解析：選A　由通項公式得展開式中x－1的系數(shù)為23C－22C＝60. 3.(x＋y)(2x－y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析：選D　(2x－y)6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，當r＝2時，T3＝240x4y2，當r＝3時，T4＝－160x3y3，故x4y3的系數(shù)為240－160＝80，故選D. 4.在6的展開式中，含x5項的系數(shù)為(　　) A．6 B．－6 C．24 D．－24 解析：選B　由6＝C6－C5＋C4＋…－C＋C，可知只有－C5的

10、展開式中含有x5，所以6的展開式中含x5項的系數(shù)為－CC＝－6，故選B. 突破點二　二項式系數(shù)性質(zhì)及應用 二項式系數(shù)的性質(zhì) 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．(　　) (2)在(1－x)9的展開式中，系數(shù)最大的項是第5項和第6項．(　　) (3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 二、填空題 1．若n的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為512，則該展開式中常數(shù)項為________．

11、答案：84 2．已知m是常數(shù)，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，則m＝________. 答案：3 3．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 答案：2 考法一　二項展開式中系數(shù)和的問題　 賦值法在求各項系數(shù)和中的應用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之

12、和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)． ①奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. [例1]　(1)(2019·鄭州一中月考)若二項式n的展開式的二項式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項的系數(shù)之和為(　　) A．－1　　　　　　　　　 　B．1 C．27 D．－27 (2)(2019·襄陽四中月考)設(x2＋1)(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10，則a0＋a1＋a2＋…＋a10的值為________．

13、 [解析]　(1)依題意得2n＝8，解得n＝3，取x＝1，得該二項展開式每一項的系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.故選A. (2)在所給的多項式中，令x＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即a0＋a1＋a2＋…＋a10＝2. [答案]　(1)A　(2)2 [易錯提醒] (1)利用賦值法求解時，注意各項的系數(shù)是指某一項的字母前面的數(shù)值(包括符號)； (2)在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進行賦值．　　 考法二　二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題　 求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟 第一步，要弄清

14、所求問題是“展開式系數(shù)最大”、“二項式系數(shù)最大”兩者中的哪一個． 第二步，若是求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解． [例2]　(1)(2019·內(nèi)蒙古鄂爾多斯模擬)在5的展開式中，x3的系數(shù)等于－5，則該展開式的各項的系數(shù)中最大值為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 (2)(2019·福州高三期末)設n為正整數(shù)，n的展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為________． [解析]　(1)5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，則r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1

15、，展開式中第2,4,6項的系數(shù)為負數(shù)，第1,3,5項的系數(shù)為正數(shù)，故各項的系數(shù)中最大值為C＝10，選B. (2)依題意得，n＝8，所以展開式的通項Tr＋1＝Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展開式中的常數(shù)項為T3＝C(－2)2＝112. [答案]　(1)B　(2)112 [方法技巧]　　求展開式系數(shù)最值的2個思路 思路一 由于二項展開式中的系數(shù)是關于正整數(shù)n的式子，可以看作關于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值 思路二 由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解

16、不等式組即可求得答案 1.設(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大的項是(　　) A．15x3　　　　　　　　　 　B．20x3 C．21x3 D．35x3 解析：選B　在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn中， 令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an； 令x＝0，得1＝a0， ∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6. 而(1＋x)6的展開式中系數(shù)最大的項為T4＝Cx3＝20x3. 2.(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________. 解析：設(a＋x)

17、(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3. 答案：3 3.設(5x－)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為________． 解析：依題意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n， 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0， ∴2n＝16＝24，解得n＝4. 要使二項式系數(shù)C最大，只有k＝2， 故展開式中二項式系數(shù)最大的項為 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3. 答案：150x3