四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.自然數(shù)都是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上“三段論”推理(　　). A.正確 B.推理形式不正確 C.兩個“自然數(shù)”概念不一致 D.“兩個整數(shù)”概念不一致 【解析】“三段論”中的大前提,小前提及推理形式都是正確的. 【答案】A 2.余弦函數(shù)是偶函數(shù),f(x)=cos(x+1)是余弦函數(shù),因此f(x)=cos(x+1)是偶函數(shù),以上推理(　　). A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 【解析】因為f(x)=cos

2、(x+1)不是余弦函數(shù),所以小前提錯誤. 【答案】C 3.下列推理不是合情推理的是(　　). A.由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì) B.由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180° C.某次考試張軍的成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分 D.蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物,所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的 【解析】A是類比推理,B、D是歸納推理,C不是合情推理. 【答案】C 4.若f(n)=1+++…+(n∈N*),則當(dāng)n=2時,f(n)等于(　　). A.1+ B. C.1++++ D.

3、均不正確 【解析】∵f(n)=1+++…+,分子是1,分母是1,2,3,…,2n+1,故當(dāng)n=2時,f(n)=1+++…+=1++++. 【答案】C 5.下列推理是歸納推理的是(　　). A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則點P的軌跡為橢圓 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,猜想出橢圓+=1的面積S=πab D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 【解析】由S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式,是從特殊到一般的推理,所以選項B中的推理是歸納推理,

4、故選B. 【答案】B 6.函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對任意的x1,x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm”函數(shù).那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是(　　). A.f(x)=x2(x∈[-1,2]) B.f(x)=x3(x∈[0,1]) C.f(x)=-2x+1(x∈[-1,0]) D.f(x)=(x∈[1,3]) 【解析】由定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數(shù)f(x)的最大值與最小值之差的絕對值,故要判斷一個函數(shù)是否為“Storm”函數(shù),只需看這個函數(shù)的最值之差的絕對值是否小于1即可.在選項D中,因為f(x)=在x∈[1,3

5、]上是減函數(shù),所以令m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|==<1,所以該函數(shù)是“Storm”函數(shù). 【答案】D 7.下列推理正確的是(　　). A.把a(bǔ)(b+c)與loga(x+y)進(jìn)行類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logay B.把a(bǔ)(b+c)與sin(x+y)進(jìn)行類比,則有sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n與(a+b)n進(jìn)行類比,則有(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c與(xy)z進(jìn)行類比,則有(xy)z=x(yz) 【答案】D 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=

6、.從n=k到n=k+1,等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　). A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1] 【解析】當(dāng)n=k時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12;當(dāng)n=k+1時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.所以從n=k到n=k+1,左邊應(yīng)添加的式子為(k+1)2+k2. 【答案】B 9.如表所示,若數(shù)列{xn}滿足x0=5,且對任何自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2019=(　　). x 1 2 3 4 5 f

7、(x) 4 1 3 5 2 　　A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】因為x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,所以數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列,所以x2019=x3=4.故選C. 【答案】C 10.在△ABC中,角A,B,C分別為邊a,b,c所對的角.若a,b,c成等差數(shù)列,則角B的取值范圍是(　　). A. B. C. D. 【解析】∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b, ∴cos B===-≥-=. 又∵余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, ∴0

8、】B 11.觀察數(shù)表: 1 2 3 4　…　第一行 2 3 4 5　…　第二行 3 4 5 6　…　第三行 4 5 6 7　…　第四行 … … … … … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列 根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律,第n行第n列交叉點上的數(shù)應(yīng)為(　　). A.2n-1 B.2n+1 C.n2-1 D.n2 【答案】A 12.若△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則(　　). A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形

9、C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形 D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形 【解析】由條件知,△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,故△A1B1C1是銳角三角形.假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形,由得 故A2+B2+C2=,這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾,所以假設(shè)不成立.又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是鈍角三角形. 【答案】D 二、填空題 13.已知x,y∈R,且x+y<2,則x,y中至多有一個大于1.在用反證法證明時,假設(shè)應(yīng)為　　　　　　.? 【解析】“x,y中至多有一個大于1”包括“x,y都不大于1”和“

10、x,y有且僅有一個大于1”,故假設(shè)應(yīng)為“x,y都大于1”. 【答案】x,y都大于1 14.觀察下列等式: ×=1-,×+×=1-,×+×+×=1-,…,由以上等式推測得到一個一般的結(jié)論:對于任何n∈N*,×+×+…+×=　　　　.? 【解析】由已知的等式得對于任何n∈N*,×+×+…+×=1-. 【答案】1- 15.如圖,若對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”: 則由此規(guī)律,52的“分裂”中最大的數(shù)是　　　　,53的“分裂”中最小的數(shù)是　　　　.? 【解析】由題意可知, 因此52的“分裂”中最大的數(shù)為9,53的“分裂”中最小的數(shù)為21. 【答案】9

11、　21 16.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項和),則S2,S3,S4分別為　　　　,由此猜想Sn=　　　　.? 【解析】由Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列得2Sn+1=Sn+2S1. ∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2. 令n=1,則2S2=S1+2=1+2=3?S2=. 同理分別令n=2,n=3,可求得S3=,S4=. 由S1=1=,S2==,S3==,S4==, 猜想Sn=(n∈N*). 【答案】,,　(n∈N*) 三、解答題 17.實數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a

12、,b,c,d至少有一個負(fù)數(shù). 【解析】假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù), 則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 這與已知ac+bd>1矛盾.故a,b,c,d至少有一個負(fù)數(shù). 18.已知A,B都是銳角,且A+B≠90°,(1+tan A)(1+tan B)=2.求證:A+B=45°. 【解析】∵(1+tan A)(1+tan B)=2, ∴tan A+tan B=1-tan Atan B. ∵A+B≠90°,∴tan(A+B)==1. ∵A,B都是銳角,∴0°0,b>0,2c>a+b,求證

13、:c-a2+ab. 因為a>0,所以只需證2c>a+b. 又因為2c>a+b成立. 所以原不等式成立. 20.已知△ABC的三邊長都是有理數(shù),求證: (1)cos A是有理數(shù); (2)對任何正整數(shù)n,cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù). 【解析】(1)由AB,BC,AC的長為有理數(shù)及余弦定理知, cos A=是有理數(shù). (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù)

14、. ①當(dāng)n=1時,由(1)知cos A是有理數(shù),從而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理數(shù). ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時,cos kA和sin A·sin kA都是有理數(shù), 那么當(dāng)n=k+1時, cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA, sin A·sin(k+1)A =sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA) =(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A, 由①和歸納假設(shè)知,cos(k+1)A和sin A·sin(k+1)A都是有理數(shù). 即當(dāng)n=k+1時,

15、結(jié)論成立. 綜合①②可知,對任何正整數(shù)n,cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù). 21.如圖,已知在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點. (1)求證:PA⊥BD. (2)求證:平面BDE⊥平面PAC. (3)當(dāng)PA∥平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積. 【解析】(1)∵PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B, ∴PA⊥平面ABC. 又∵BD?平面ABC, ∴PA⊥BD. (2)∵AB=BC,D為線段AC的中點, ∴在△ABC中,BD⊥AC. 又由(1)知,PA⊥BD

16、,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. 又∵BD?平面BDE, ∴平面BDE⊥平面PAC. (3)當(dāng)PA∥平面BDE時, 由D是AC的中點知,E為PC的中點. 因此ED=PA=1,ED⊥平面BDC. 由AB=BC=2,AB⊥BC,D為AC的中點知,BD=CD=. 又由BD⊥AC知,BD⊥DC,即∠BDC=90°. 因此VE-BCD=S△BCD·ED=××××1=. 22.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=+-1,且an>0,n∈N*. (1)求a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【解析】(1)a1=S1=+-1,即+2a1-2=0, ∵an>0,∴a1=-1. S2=a1+a2=+-1,即+2a2-2=0,∴a2=-. S3=a1+a2+a3=+-1, 即+2a3-2=0,∴a3=-. (2)由(1)猜想an=-,n∈N*. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n=1時,由(1)知a1=-1,猜想成立; 假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,ak=-, 猜想成立, 那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=-=+-. ∴+2ak+1-2=0. ∴ak+1=-, 即當(dāng)n=k+1時猜想也成立. 綜上可知,對任何n∈N*猜想都成立.