（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第三節(jié) 橢圓講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第三節(jié) 橢圓講義（含解析） 1．橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)． (1)若a＞c，則集合P為橢圓． (2)若a＝c，則集合P為線段． (3)若a＜c，則集合P為空集． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝

2、a2－b2. (2)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦點為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，其中c2＝a2－b2. 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) (3)＋＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 二、填空題 1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是________

3、． 答案：4 2．如果方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案：(－6，－2)∪(3，＋∞) 3．已知橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________． 答案：＋＝1 考法一　橢圓的定義及應(yīng)用　 [例1]　(1)(2019·衡水調(diào)研)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為(　　) A.＋＝1　　　　 　B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (

4、2)(2019·齊齊哈爾八中模擬)如圖，橢圓＋＝1(a＞2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上的一點，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面積為(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2， ∴點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝， ∴動點P的軌跡方程為＋＝1，故選D. (2)設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則cos 60°＝＝＝，化簡得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2，∵b2＝4，∴mn＝，∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝.故選D.

5、 [答案]　(1)D　(2)D [方法技巧] 橢圓焦點三角形中的常用結(jié)論 以橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的 △PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3) S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值為bc. (4)焦點三角形的周長為2(a＋c)．　　 考法二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　 [例2]　(1)如圖，已知橢圓C的中心為

6、原點O，F(xiàn)(－2，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(2019·武漢調(diào)研)一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為____________． [解析]　(1)設(shè)F′為橢圓的右焦點，連接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，則|PF′|＝＝8，由橢圓定義，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)∵

7、橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上， ∴可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， ∵P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， ∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝， ∴橢圓方程為＋＝1. [答案]　(1)C　(2)＋＝1 [方法技巧]　待定系數(shù)法求橢圓方程的思路 1.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選B　由題意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，則b＝＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1.故選B.

8、 2.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選A　依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a＞b＞0)，∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12，∴2a＝12，∴a＝6，∵橢圓的離心率為，∴e＝＝ ＝，即＝，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為＋＝1，故選A. 3.P為橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左焦點和右焦點，過P點作PH⊥F1F2于點H，若PF1⊥PF2，則|PH|＝(　　) A. B. C．8 D. 解析：選D　由橢圓＋＝1得a2

9、＝25，b2＝9， 則c＝＝＝4， ∴|F1F2|＝2c＝8. 由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝82. ∴2|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2) ＝100－64＝36， ∴|PF1|·|PF2|＝18. 又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|， ∴|PH|＝＝.故選D. 突破點二　橢圓的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b

10、－b≤x≤b，－a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：(0,0) 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長等于a.(　　) (2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a－c.(　　) (3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、填空題 1．若焦點在y軸上的橢圓

11、＋＝1的離心率為，則m的值為________． 答案： 2．橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(－10,0)，則焦點坐標(biāo)為________． 答案：(0，±) 3．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過P(－5,4)，則橢圓的方程為________． 答案：＋＝1 考法一　橢圓的離心率　 橢圓的離心率是一個重要的基本量，在橢圓中有著極其特殊的作用，也是高考?？嫉闹R點，主要考查兩類問題：一是求橢圓的離心率；二是求橢圓離心率的取值范圍． [例1]　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，

12、A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)(2019·江西臨川二中、新余四中聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A．(0，－1) B．(－1,1) C．(0，－1) D．(－1,1) [解析]　(1)如圖，作PB⊥x軸于點B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|

13、PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝. (2)∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A，B，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，兩邊同時除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是(－1,1)，故選B. [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 1．求

14、橢圓離心率的3種方法 (1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值． (2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解． (3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率． [提醒]　在解關(guān)于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根． 2．求橢圓離心率范圍的2種方法 方法 解讀 適合題型 幾何法 利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨

15、界情況建立不等關(guān)系 題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系 直接法 根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式 題設(shè)條件直接有不等關(guān)系 考法二　與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問題　 [例2]　(1)(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞) (2)(2019·合肥質(zhì)檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點

16、，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________． [解析]　(1)當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥， 解得0＜m≤1. 當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由題意知a＝2， 因為e＝＝， 所以c＝1，b2＝a2－c2＝3. 故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)． 所以－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因為F(－1,0)，A(2,0)， ＝(－1－x0，－y0

17、)，＝(2－x0，－y0)， 所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 則當(dāng)x0＝－2時，·取得最大值4. [答案]　(1)A　(2)4 [方法技巧] 與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法 (1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍． (2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍． (4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍． [提醒]　求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系．　　 1.已

18、知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點為M，上頂點為N，右焦點為F，若·＝0，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由題意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(xiàn)(c,0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)．∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．∴橢圓的離心率為，故選D. 2.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2－＝1與橢圓C2的公共焦點，點A是C1，C2在第一象限內(nèi)的交點，若|F1F2|＝|F1A|，則C2的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析

19、：選C　設(shè)橢圓的長半軸長為a.由題意可知，|F1F2|＝|F1A|＝6，∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝4，∴|F1A|＋|F2A|＝10，∴2a＝10，∴C2的離心率是＝.故選C. 3.已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足0＜＋y＜1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． 解析：由點P(x0，y0)滿足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點)，因為a＝，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，當(dāng)P(x0，y0)與F1或F2重合時，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)． 答案：[2,2)