（新課改省份專用）2022年高考數學一輪復習 課時跟蹤檢測（五十）雙曲線（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數學一輪復習 課時跟蹤檢測（五十）雙曲線（含解析） 1．(2018·浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦點坐標是(　　) A．(－，0)，(，0)　　　 　B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2) 解析：選B　∵雙曲線方程為－y2＝1， ∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點在x軸上， ∴c＝＝＝2， 即得該雙曲線的焦點坐標為(－2,0)，(2,0)． 2．(2019·南寧摸底聯考)雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選D　在雙曲線

2、－＝1中，a＝5，b＝2，∴其漸近線方程為y＝±x，故選D. 3．(2019·合肥調研)下列雙曲線中，漸近線方程不是y＝±x的是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選D　對于A，漸近線方程為y＝±x＝±x；對于B，漸近線方程為y＝±x＝±x；對于C，漸近線方程為y＝±x；對于D，漸近線方程為y＝± x．故選D. 4．(2019·銅陵模擬)已知雙曲線－＝1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，)，則△APF周長的最小值為(　　) A．4(1＋) B．4＋ C．2(＋) D.＋3 解析：選A　設雙曲線的左焦點為F′，易得點F(，0)，

3、△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當A，P，F′三點共線時取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故選A. 5．(2019·合肥一模)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝－2x，則該雙曲線的離心率是(　　) A． B． C． D．2 解析：選C　由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，且雙曲線的一條漸近線方程為y＝－2x，得＝2，則b＝2a，則雙曲線的離心率e＝＝＝＝＝.故選C. 6．(2019·德州一模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞

4、0)的一個焦點在拋物線y2＝16x的準線上，且雙曲線的一條漸近線過點(，3)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選C　雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，由雙曲線的一條漸近線過點(，3)，可得＝， ① 由雙曲線的一個焦點(－c,0)在拋物線y2＝16x的準線x＝－4上，可得c＝4， 即有a2＋b2＝16， ② 由①②解得a＝2，b＝2， 則雙曲線的方程為－＝1.故選C. [B級　保分題——準做快做達標] 1．(2017·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一

5、點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　法一：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2,0)，當x＝2時，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點P(2,3)，因為點A(1,3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝. 法二：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2,0)，當x＝2時，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點P(2,3)，因為點A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以

6、S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝. 2．(2019·黃岡質檢)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　連接OM.由題意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|， ∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·， ∴e＝＝.故選A. 3．(2019·銀川模擬)已知雙曲線－＝1(0＜a＜1)的離心率為，則a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵c2＝a2

7、＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝，∴a＝，故選B. 4．(2019·遼寧五校聯考)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為(　　) A．－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 解析：選D　因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，故選D. 5．(2019·黃山一診)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與

8、直線x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因為雙曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故選C. 6．(2019·天津和平一模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，過右焦點F作漸近線的垂線，垂足為M.若△FOM的面積為，其中O為坐標原點，則雙曲線的方程為(　　) A．x2

9、－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選C　由題意可知e＝＝，可得＝， 取一條漸近線為y＝x， 可得F到漸近線y＝x的距離d＝＝b， 在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a， 由題意可得ab＝，聯立解得 所以雙曲線的方程為－＝1.故選C. 7．(2019·湘中名校聯考)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB|≥|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　將x＝c代入－＝1得y＝±， 不妨取A，B，所以|AB|

10、＝. 將x＝c代入雙曲線的漸近線方程y＝±x，得y＝±， 不妨取C，D，所以|CD|＝. 因為|AB|≥|CD|，所以≥×， 即b≥c，則b2≥c2，即c2－a2≥c2， 即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥. 8．(2019·桂林模擬)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由條件得|OP|2＝2ab.又∵P為雙曲線上一點，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.∴雙曲線離心率的

11、取值范圍是. 9．(2019·惠州調研)已知O為坐標原點，設F1，F2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D． 解析：選A　如圖，延長F1H交PF2于點Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根據雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，從而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH為中位線，故|OH|＝1.故選A. 10．(2019·鄭州模擬)設F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是C上一點，

12、若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：選B　假設點P在雙曲線的右支上， 則 ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的邊是PF2， ∴△PF1F2的最小內角為∠PF1F2. 在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°， ∴c2－2ac＋3a2＝0， ∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝， ∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，

13、 ∴＝，∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝0，故選B. 11．(2017·全國卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 解析：∵雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5. 答案：5 12．(2017·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知 |AF|＝y(tǒng)

14、1＋，|BF|＝y(tǒng)2＋，|OF|＝， 由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋＋y2＋＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p. 聯立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 所以y1＋y2＝，所以＝p， 即＝，故＝， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 13．(2019·成都畢業(yè)班摸底測試)已知雙曲線－＝1(a＞0)和拋物線y2＝8x有相同的焦點，則雙曲線的離心率為________． 解析：易知拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，所以雙曲線－＝1的焦點為(2,0)，則a2＋2＝22，即a＝，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 14．(2019·南昌

15、調研)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過點F作圓(x－a)2＋y2＝的切線，若該切線恰好與C的一條漸近線垂直，則雙曲線C的離心率為________． 解析：不妨取與切線垂直的漸近線方程為y＝x，由題意可知該切線方程為y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.又圓(x－a)2＋y2＝的圓心為(a,0)，半徑為，則圓心到切線的距離d＝＝＝，又e＝，則e2－4e＋4＝0，解得e＝2. 答案：2 15．(2019·西安鐵一中模擬)已知點F1，F2分別是雙曲線C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，∠MF1F2＝30°. (

16、1)求雙曲線C的方程； (2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求·的值． 解：(1)由題易知F2(，0)，可設M(，y1)． 因為點M在雙曲線C上且在x軸上方，所以1＋b2－＝1，得y1＝b2，所以|F2M|＝b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由雙曲線的定義可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)易知兩條漸近線方程分別為l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0. 設雙曲線C上的點P(x0，y0)，兩條漸近線的夾角為θ， 不妨設P1在l1上，P2在l2

17、上， 則點P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|＝，|PP2|＝. 因為P(x0，y0)在雙曲線x2－＝1上， 所以2x－y＝2， 又易知cos θ＝， 所以·＝·cos θ＝·＝. 16．(2019·湛江模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以雙曲線的方程為－＝1. (2)設點A的坐標為(x0，y0)， 所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， 所以x0＝y(tǒng)0，① 依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2， 將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c， 所以x0＝c，所以點A的坐標為， 代入雙曲線方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又因為a2＋b2＝c2， 所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0， 所以34－82＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因為e＞1，所以e＝， 所以雙曲線的離心率為.