（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測（三十九）空間點、直線、平面之間的位置關系（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測（三十九）空間點、直線、平面之間的位置關系（含解析） 1．下列命題中，真命題的個數(shù)為(　　) ①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合； ②兩條直線可以確定一個平面； ③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1　　　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 解析：選B　根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間中，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質可知④是真命題．綜

2、上，真命題的個數(shù)為2. 2．已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 解析：選C　如果c與a，b都平行，那么由平行線的傳遞性知a，b平行，與異面矛盾．故選C. 3．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和B

3、D不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件． 4．(2019·銀川一中模擬)已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB，PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：選A　如圖，取AC的中點D，連接DN，DM，由已知條件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線PA與MN所成的角，則cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°. [B級　保分題——準做快做達標] 1．下列說法錯誤的是(　　)

4、A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內 B．過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直 C．如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直 D．如果兩條直線和一個平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行 解析：選D　兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內，A正確，排除A；過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直，B正確，排除B；如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直，C正確，排除C；如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線不一定平行，D錯誤，選D. 2．(2019·長春質檢)平面α，β的公共點多于兩個，則

5、 ①α，β平行； ②α，β至少有三個公共點； ③α，β至少有一條公共直線； ④α，β至多有一條公共直線． 以上四個判斷中不成立的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　由條件知，當平面α，β的公共點多于兩個時，若所有公共點共線，則α，β相交；若公共點不共線，則α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立． 3．(2019·云南大理模擬)給出下列命題，其中正確的兩個命題是(　　) ①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行； ②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面； ③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α

6、； ④a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等． A．①與② B．②與③ C．③與④ D．②與④ 解析：選D　直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面α，也可能在平面α內，因此①③為假命題． 4．(2019·成都模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個命題： ①四邊形EFGH是平行四邊形； ②平面α∥平面BCC1B1； ③平面α⊥平面BCFE. 其中正

7、確的命題有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：選C　由題意畫出草圖如圖所示，因為AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯誤；由AA1⊥平面BCFE，結合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確．綜上可

8、知，故選C. 5.(2019·廣州模擬)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確結論的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　畫出該幾何體，如圖所示，①因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；②直線BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，可知EF∥

9、AD，所以EF∥BC，因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以直線EF∥平面PBC，故③正確；④因為BE與PA的關系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確．所以正確結論的個數(shù)是2. 6．(2019·常德期末)一個正方體的展開圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中(　　) A．AB∥CD B．AB與CD相交 C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為60° 解析：選D　如圖，把展開圖中的各正方形按圖①所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖②所示的直觀圖，可得選項A、B、C不正確．圖②中，DE∥AB，∠CD

10、E為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60°.∴正確選項為D. 7．(2019·成都檢測)在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因為AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設AB＝2a，則EG＝EF＝a，F(xiàn)G

11、＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選A. 8．(2019·福州質檢)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線(　　) A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條 解析：選D　在EF上任意取一點M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點N，當M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點P，M，N，如圖，故有無數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交． 9.如圖所示，在空間四

12、邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝，則下列說法中正確的是________(填序號)． ①EF與GH平行； ②EF與GH異面； ③EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上； ④EF與GH的交點M一定在直線AC上． 解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H共面．因為EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上．同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點，又A

13、C是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上． 答案：④ 10．(2019·南京模擬)已知α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號)． ①若α∥β，m?α，則m∥β； ②若m∥α，n?α，則m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. 解析：由α∥β，m?α，可得m∥β，所以①正確；由m∥α，n?α，可得m，n平行或異面，所以②不正確；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m與β相交或m?β，所以③不正確；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正確

14、．綜上，正確命題的序號是①④. 答案：①④ 11．(2019·廣東百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為________． 解析：不妨設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，連接BC1，設B1C∩BC1＝O，連接EO，如圖所示，在△BC1D1中，當點E為C1D1的中點時，BD1∥OE，則BD1∥平面B1CE，據(jù)此可得∠OEC為直線BD1與CE所成的角．在△OEC中，邊長EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝.即異面直線BD1與CE所成角的余弦值為. 答案： 1

15、2．(2019·廣西南寧二中、柳州高中聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，下列說法正確的是________(填上所有正確的序號)． ①不論D折至何位置(不在平面內)都有MN∥平面DEC； ②不論D折至何位置都有MN⊥AE； ③不論D折至何位置(不在平面ABC內)都有MN∥AB. 解析：如圖，①易證ABCE為矩形，連接AC，則N在AC上，連接CD，BD，易證在△ACD中，MN為中位線，MN∥DC，又MN?平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正確． ②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC＝E， ∴AE

16、⊥平面CED， 又CD?平面CED， ∴AE⊥CD，∴MN⊥AE，②正確． ③MN與AB異面．假若MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA， 從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾．③錯誤． 答案：①② 13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且異面直線A1B與B1C1所成的角等于60°，設AA1＝a. (1)求a的值； (2)求三棱錐B1-A1BC的體積． 解：(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是異面直線A1B與B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°.又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，則A1B＝A1C，∴

17、△A1BC為等邊三角形，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°?BC＝，∴A1B＝?＝?a＝1. (2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A，∴CA⊥平面A1B1B，∴VB1-A1BC＝VC-A1B1B＝××1＝. 14.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點． (1)求證：直線EF與BD是異面直線； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角． 解：(1)證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線． (2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.