（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（五十四）解題上——5大技法破解“計算繁而雜”這一難題（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（五十四）解題上——5大技法破解“計算繁而雜”這一難題（含解析） 1．(2018·惠州二模)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　如圖，設(shè)線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以O(shè)M∥PF2，可得PF2⊥x軸，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故選D. 2．設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜

2、率的最大值為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D．1 解析：選C　如圖所示， 設(shè)P(x0，y0)(y0＞0)，則y＝2px0， 即x0＝. 設(shè)M(x′，y′)，由＝2， 得化簡可得 ∴直線OM的斜率k＝＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)y0＝p時取等號)． 3．(2019·合肥質(zhì)檢)如圖，橢圓＋＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H.若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為(　　) A．20 B．10 C．2 D．4 解析：選D　由F1，H是線段MN的三等分點，得H是F1N的中點，又F1(－c,0)

3、，∴點N的橫坐標為c，聯(lián)立方程，得得N，∴H，M.把點M的坐標代入橢圓方程得＋＝1，化簡得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由橢圓的定義知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周長為|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故選D. 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c,0)，P為雙曲線上任一點，且·最小值的取值范圍是，則該雙曲線的離心率的取值范圍為(　　) A．(1，] B．[，2] C．(0，] D．[2，＋∞) 解析：選

4、B　設(shè)P(x0，y0)， 則·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0) ＝x－c2＋y＝a2－c2＋y， 上式當(dāng)y0＝0時取得最小值a2－c2， 根據(jù)已知－c2≤a2－c2≤－c2， 所以c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2， 所以所求雙曲線的離心率的取值范圍是[，2]． 5．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F，斜率為的直線交拋物線于A，B兩點，若＝λ (λ＞1)，則λ的值為(　　) A．5 B．4 C． D． 解析：選B　根據(jù)題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝λ，得＝λ， 故－y1＝λy2，即λ＝－. 設(shè)直線AB的方程為y＝， 聯(lián)

5、立直線與拋物線方程，消去x，得y2－py－p2＝0. 故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2， 則＝＋＋2＝－， 即－λ－＋2＝－. 又λ＞1，解得λ＝4. 6．中心為原點，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓方程為________． 解析：由已知得c＝5， 設(shè)橢圓的方程為＋＝1， 聯(lián)立 消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，設(shè)直線y＝3x－2與橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝， 由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝7

6、5， 所以該橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知AB為圓x2＋y2＝1的一條直徑，點P為直線x－y＋2＝0上任意一點，則·的最小值為________． 解析：由題意，設(shè)A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)， 則B(－cos θ，－sin θ)， ∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)， ＝(－cos θ－x，－sin θ－x－2)， ∴·＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2) ＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ ＝2x2＋4x＋3 ＝2(x＋1)2＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1，即P(－1，1)

7、時，·取最小值1. 答案：1 8．(2019·武漢調(diào)研)已知A，B分別為橢圓＋＝1(0＜b＜3)的左、右頂點，P，Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的不同兩點，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為m，n，若點A到直線y＝ x的距離為1，則該橢圓的離心率為________． 解析：根據(jù)橢圓的標準方程＋＝1(0＜b＜3)知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，A(－3,0)，B(3,0)，設(shè)P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，則＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直線y＝ x＝x，即x－3y＝0.又點A到直線y＝ x的距離為1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝. 答案：

8、 9．已知橢圓C：＋y2＝1過點A(2,0)，B(0,1)兩點．設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． 解：設(shè)P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，則x＋4y＝4， 又A(2,0)，B(0,1)， 所以，直線PA的方程為y＝(x－2)， 令x＝0，得yM＝－， 從而|BM|＝1－yM＝1＋， 直線PB的方程為y＝x＋1， 令y＝0，得xN＝－， 從而|AN|＝2－xN＝2＋， 所以四邊形ABNM的面積 S＝|AN||BM|＝ ＝ ＝ ＝2， 從而四邊形ABNM的面積為定值． 10．已知

9、離心率為的橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，|AB|＝. (1)求此橢圓的方程； (2)已知直線y＝kx＋2與橢圓交于C，D兩點，若以線段CD為直徑的圓過點E(－1,0)，求k的值． 解：(1)設(shè)焦距為2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2， ∴＝.由題意可知＝，∴b＝1，a＝， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)將y＝kx＋2代入橢圓方程， 得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0， 又直線與橢圓有兩個交點， 所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 若以CD為直徑的圓過E點， 則·＝0， 即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0， 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， 所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5 ＝－＋5＝0， 解得k＝，滿足k2＞1，所以k＝.