（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義（含解析） 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q. (2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝ 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)滿足

2、an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(　　) (3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、填空題 1．已知遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，則＝________. 答案： 2．各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，則公比q的值為________． 答案：2 3．在各項(xiàng)均為正數(shù)

3、的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________． 答案：4 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn等于________． 答案：n－1 1．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且5a2是a4與3a3的等差中項(xiàng)，若a2＝2，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5＝(　　) A.　　　　　　　　 B．31 C. D．以上都不正確 解析：選B　設(shè){an}的公比為q，則q>0且q≠1.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，則a1＝1，所

4、以S5＝＝＝31. 2．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m. 解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 解決等比數(shù)列基本量計(jì)算問題的常用

5、思想方法 (1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解． (2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝. 1．(2019·豫北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，則a1＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：選C　由題意知數(shù)列{an}是以－3為公比的等比數(shù)列， ∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1＝＝－1.故選C.

6、2．(2019·綿陽診斷性考試)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于(　　) A. B． C. D． 解析：選B　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則顯然q≠1，由題意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝. 3．(2019·蘭州診斷性測試)設(shè)數(shù)列{an＋1}是一個各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知a3＝7，a7＝127. (1)求a5的值； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和． 解：(1)由題可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，則有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024，可得a5＋1＝32，即a5＝31. (2)設(shè)數(shù)列

7、{an＋1}的公比為q，由(1)知得 所以數(shù)列{an＋1}是一個以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1， 利用分組求和可得，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n＝2n＋1－2－n. 突破點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì) (1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.對有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m

8、，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)． (3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列． (4)當(dāng)q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列，其公比為qk. (5)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，，，…成等比數(shù)列． 1．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝________. 答案：4 2．(2019·長春調(diào)研)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝_______

9、_. 答案：14 3．已知等比數(shù)列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，則a6＋a7等于________． 答案：4 4．設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于________． 答案： 1．(2019·洛陽尖子生高三第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，則的值為(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D．－或 解析：選B　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a

10、9＝－，所以＝＝a9＝－，故選B. 2．(2019·麗水模擬)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 解析：選A　易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故選A.

11、 應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的2個注意點(diǎn) (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． (2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用． 1．(2019·惠州調(diào)研)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解析：選B　∵a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝

12、9， ∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10. 2．(2019·蘭州一中測試)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，則＋＋＋等于(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：選D　＋＋＋＝＋. ∵在等比數(shù)列{an}中，a1·a4＝a2·a3， ∴原式＝＝×＝－.故選D. 3．在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　) A．135 B．100 C．95 D．80 解析：選A　由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，a1＋a2

13、，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為40，公比為＝，所以a7＋a8＝40×3＝135. 突破點(diǎn)三　等比數(shù)列的判定與證明 [典例]　(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等

14、比數(shù)列． 理由如下： 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. [方法技巧] 等比數(shù)列的4種常用判定方法 定義法 若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 中項(xiàng)公式法 若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列{an}的前n

15、項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列 [提醒]　(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與中項(xiàng)公式法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可． (2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證． [針對訓(xùn)練] (2019·湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an. (1)求證：數(shù)列{an＋1－2an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：由an＋2＝4an＋1－4an得an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1)＝…＝2n(a2－2a1)≠0，∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比數(shù)列． (2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n， ∴－＝， ∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， ∴＝，an＝n·2n－1.