（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、概率 第6節(jié) 幾何概型學案 文 新人教A版

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1、 第6節(jié)　幾何概型 最新考綱　1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；2.了解幾何概型的意義. 知 識 梳 理 1.幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型. 2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)＝. [常用結(jié)論與微點提醒] 1.幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限的，古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的，前者概率的計算與基本事件的區(qū)域長度(面積或體積)的

2、大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 2.幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(　　) (2)從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件.(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(必修3P140練習1改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機

3、會，應選擇的游戲盤是(　　) 解析　如題干選項中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案　A 3.(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝. 答案　B 4.(2018·莆田質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長度不大于1的

4、概率是(　　) A. B. C. D. 解析　任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸). 故所求概率P＝＝. 答案　B 5.如圖所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________. 解析　由題意知，這是個幾何概型問題，＝＝0.18，因為S正＝1，所以 S陰＝0.18. 答案　0.18 考點一　與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 【例1】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：3

5、0之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. (2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________. 解析　(1)如圖所示，畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB上，而當他的到達時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題

6、意，點P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P′在上發(fā)生”. 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. 答案　(1)B　(2) 規(guī)律方法　1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置. 2.(1)例1第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導致錯求P＝. (2)當涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率.事實上，當半徑一定時，曲線弧長

7、之比等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)之比. 【訓練1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________. (2)(2018·西安調(diào)研)在區(qū)間[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________. 解析　(1)由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3]. 故所求事件的概率P＝＝. (2)直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5，0)到直線y＝kx的距離小于3. 則＜3，解得－＜k＜. 故所求事件的概率P＝＝. 答案

8、　(1)　(2) 考點二　與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究) 命題角度1　與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型 【例2－1】 (2017·全國Ⅰ卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)正方形的邊長為2，則面積S正方形＝4. 又正方形內(nèi)切圓的面積S＝π×12＝π. 所以根據(jù)對稱性，黑色部分的面積S黑＝. 由幾何概型的概率公式，概率P＝＝. 答案　B 命題角度2　與線性規(guī)劃的交匯問題 【例2－2】 由不等式

9、組確定的平面區(qū)域記為Ω1， 由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，若在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為________. 解析　如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C . 由幾何概型的概率公式，所求概率P＝＝＝. 答案　 規(guī)律方法　1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合. 2.解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 【訓練2】 (1)(2016·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0，1]隨機

10、抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. (2)(2018·石家莊調(diào)研)在滿足不等式組的平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)如圖，數(shù)對(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰

11、影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計算公式知P＝＝＝，又P＝，所以＝，故π＝. (2)作出不等式組 表示的平面區(qū)域(即△ABC)，其面積為4.事件A＝“y0＜2x0”表示的區(qū)域為△AOC，其面積為3.所以事件A發(fā)生的概率是. 答案　(1)C　(2)B 考點三　與體積有關(guān)的幾何概型 【例3】 (1)(2018·深圳模擬)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A. B. C. D. (2)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得

12、VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內(nèi). 這個小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為P＝. (2)由題意知，當點P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時，滿足 VP－ABC

13、于某些較復雜的也可利用其對立事件去求. 2.本題易忽視基本事件的等可能性，錯用“長度”度量，誤求P＝. 【訓練3】 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為________. 解析　設(shè)四棱錐M－ABCD的高為h，由于S正方形ABCD＝1，V正方體＝1，且S正方形ABCD<. ∴h<，則點M在正方體的下半部分，故所求事件的概率P＝＝. 答案　 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1.為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲600個點，已知恰有2

14、00個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由投擲的點落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案　B 2.如圖，“天宮一號”運行的軌跡是如圖的兩個類同心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運動，運行過程中，則點P與點O的距離小于3 km的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為π(32－22)＝5π；圓環(huán)總面積為π(42－22)＝12π，所以點P

15、與點O的距離小于3 km的概率為P＝＝. 答案　B 3.(2018·濰坊一中質(zhì)檢)在區(qū)間[0，2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2， 解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的 概率為＝，故選A. 答案　A 4.(2018·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　∵大正方形的面積是34

16、，∴大正方形的邊長是，由直角三角形的較短邊長為3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P＝＝. 答案　B 5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型， 則P1＝＝＝. 故點P到點O的距離大于1的概率P＝1－＝. 答案　B 6.(2018·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是

17、(　　) A. B.1－ C. D. 解析　當0≤x<1時，恒有f(x)＝ex

18、，點A在x軸上，點B的坐標為(1，0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析　因為四邊形ABCD為矩形，B(1，0)且點C和點D分別在直線y＝x＋1和y＝－x＋1上，所以C(1，2)，D(－2，2)，E(0，1)，則A(－2，0). 因此S矩形ABCD＝6，S陰影＝×1·|CD|＝. 由幾何概型，所求事件的概率P＝＝. 答案　B 二、填空題 9.在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析　由|x|≤m，得－m≤x

19、≤m. 當m≤2時，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去. 當2＜m＜4時，由題意得＝，解得m＝3. 答案　3 10.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為________. 解析　因為VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V長方體，故所求概率為＝. 答案　 11.(2018·華師附中聯(lián)考)在區(qū)間[0，4]上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為________. 解析　由x，y∈[0，4]知(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋

20、2y≤8的區(qū)域為如圖所示的陰影部分. 易知A(4，2)，S正方形＝16，S陰影＝＝12. 故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝. 答案　 12.在區(qū)間[0，5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________. 解析　設(shè)方程x2＋2px＋3p－2＝0的兩負根為x1，x2， 則解得2. 又因為p∈[0，5]，得p∈∪(2，5]， 故所求概率為＝. 答案　 能力提升題組 (建議用時：10分鐘) 13.(2018·西北工大附中調(diào)研)設(shè)復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋

21、π B.＋ C.－ D.－ 解析　由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由題意作圖如圖所示，則滿足條件的區(qū)域為圖中陰影部分， ∴y≥x的概率為＝－. 答案　D 14.在區(qū)間[0，1]上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　要使該函數(shù)無零點，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. ∵a，b∈[0，1]，a＋2b>0， ∴a－2b<0. 作出的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點的概率P＝＝. 答案　C 15.已知線段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作為長

22、方體的高，再將線段BC任意分成兩段作為長方體的長和寬，則長方體的體積超過128 cm3的概率為________. 解析　依題意，設(shè)長方體的長為x cm，則相應的寬為(12－x)cm，由4x(12－x)>128得x2－12x＋32<0，解得4