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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸題增分練2 理
1．(12分)已知橢圓C：＋＝1過A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程及離心率；
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．
[規(guī)范解答及評分標(biāo)準(zhǔn)] (1)由題意知，a＝2，b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(1分)
因?yàn)閏＝＝，所以橢圓C的離心率e＝＝.(3分)
(2)設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x＋4y＝4.(4分)
因?yàn)锳(2,0)，B(0,1)，
所以直線PA的方程為y＝(x－2)，(5分)
令x＝0，
2、得yM＝，從而|BM|＝1－yM＝1＋.(6分)
直線PB的方程為y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，
從而|AN|＝2－xN＝2＋.(8分)
所以四邊形ABNM的面積S＝|AN|·|BM|
＝·
＝
＝＝2，
所以四邊形ABNM的面積為定值2.(12分)
2．(12分)函數(shù)f(x)＝xex－lnx－ax.
(1)若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線y＝2(e－1)(x－1)平行，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)在(1)的條件下，求f(x)的最小值．
[規(guī)范解答及評分標(biāo)準(zhǔn)] (1)由題意得f′(x)
3、＝(x＋1)ex－－a(x>0)，(2分)
∴f′(1)＝2e－1－a＝2(e－1)．
∴a＝1.(3分)
(2)由題意知，f′(x)＝(x＋1)ex－－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，(4分)
即a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．(5分)
令g(x)＝(x＋1)ex－，則g′(x)＝(x＋2)ex＋>0.(6分)
∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)min＝g(1)＝2e－1，∴a≤2e－1.(8分)
(3)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xex－lnx－x，x∈(0，＋∞)，
則f′(x)＝(x＋1)ex－－1.
令m(x)＝(x＋1)ex－－1，則m′(x)＝(x＋2)ex＋>0，
∴f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(9分)
又f′<0，f′(1)>0，∴?x0∈使得f′(x0)＝0，此時(shí)ex0＝.∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．(10分)
∴f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－lnx0－x0＝x0·－ln－x0＝1.(12分)
2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸題增分練2 理
