2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理 1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案： ①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　由題意可知，在①②③三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出AB.故選D. 2.(2017·廣東中山上學期期末)如圖所示，設A，B

2、兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　由題意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故選A. 3．某人在C點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．1米 答案　C 解析　如圖所示，設塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°

3、，則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)． 4．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則斜坡長為(　　) A．1千米 B．2sin10° 千米 C．2cos10° 千米 D．cos20° 千米 答案　C 解析　由題意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°， ∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos

4、160° ＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°. 5.(2017·湖南師大附中月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 答案　D 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故選D. 6．在200 m高的山

5、頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為(　　) A. m B. m C. m D. m 答案　A 解析　如圖，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200， ∴BC＝＝. ∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°， ∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°. 在△BDC中，＝. ∴DC＝＝＝(m)． 7．(2018·廣東佛山二模)某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30) n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏東75°方向．現(xiàn)在有一艘輪船從

6、城市A出發(fā)以50 n mile/h的速度向城市D直線航行，60 min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西θ，則sinθ＝________． 答案　 解析　設輪船行駛至F時收到指令，則AF＝50 n mile.連接AC，CF，過A作AE⊥BC于E，則AE＝ABsin60°＝40(n mile)，BE＝ABcos60°＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30(n mile)，AC＝＝50(n mile)，所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－×＋×＝＝，所以∠CAD＝90°.因

7、為AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝. 8．要測底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔的高度． 答案　40米 解析　如圖設電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°. 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120

8、°， 解得x＝40，∴電視塔高為40米． 9.衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC，△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的長度； (2)若環(huán)境標志的底座每平方米造價為5 000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用較低(請說明理由)？較低造價為多少？(＝1.732，＝1.414) 答案　(1)7米 (2)小李的設計建造費用低，86 600元 解析　(1)在△ABC中，由余弦定理，得 cosC＝＝.① 在△ABD中，由余弦定理，得

9、 cosD＝.② 由∠C＝∠D，得cosC＝cosD. ∴AB＝7，∴AB長為7米． (2)小李的設計建造費用較低，理由如下： S△ABD＝AD·BD·sinD， S△ABC＝AC·BC·sinC. ∵AD·BD>AC·BC，∴S△ABD>S△ABC. 故選擇△ABC建造環(huán)境標志費用較低． ∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等邊三角形，∠D＝60°.∴S△ABC＝10＝10×1.732＝17.32. ∴總造價為5 000×17.32＝86 600(元)． 10．(2017·鹽城一模)如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)

10、建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)? 答案　當設計∠AMN＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小 解析　設∠AMN＝θ，在△AMN中，＝. 因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)． 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2. 所以設計∠AMN＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最?。?