高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合檢測 北師大版選修2-2

5、n－2級的基礎上到達；(2)在第n－1級的基礎上到達． 【答案】　D 8．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(　　) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正負都可能 【解析】　f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)，可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0. 【答案】　A 9．(xx·江西高考)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b

6、4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 【解析】　記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 【答案】　C 10．數(shù)列{an}滿

7、足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013等于(　　) A. B．－1 C．2 D．3 【解析】　∵a1＝，an＋1＝1－， ∴a2＝1－＝－1， a3＝1－＝2， a4＝1－＝， a5＝1－＝－1， a6＝1－＝2， ∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*) ∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上) 11．一個數(shù)列{an}的前n項為，，，，，….則猜想它的一個通項公式為an＝________. 【解析】　數(shù)列可寫成，，，，，….猜想通項公式an＝. 【答案】　 12．

8、觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有________個小正方形，第n個圖中有________個小正方形． 圖1 【解析】　 根據(jù)規(guī)律和第6個圖形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 第n個圖形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝. 【答案】　28　 13．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應假設為________． 【解析】　就x是否等于a，b而言有四種情形：①x＝a，x≠b；②x≠a，x＝b；③x＝a，x＝b；④x≠a，x≠b. 故應假設x＝a或x＝b. 【答案】　x＝a或x＝b 14．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等

9、比數(shù)列{bn}中，會有類似的結(jié)論：________________. 【解析】　根據(jù)等差、等比數(shù)列中運算的性質(zhì)知： 在等比數(shù)列{bn}中會有 ＝. 【答案】?。? 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)用反證法證明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0. 【證明】　假設x2＋2x－1＝0， 則解得x1＝－1，x2＝－－1. 又x1<，x2<， 這與已知x>矛盾． 故假設不成立，x2＋2x－1≠0成立． 16．(本小題滿分12分)試比較2n與n2(n∈N*)的大小關系，并用數(shù)學歸納法證明． 【證明】　當n＝1

10、時，21>12，即2n>n2， 當n＝2時，22＝22，即2n＝n2， 當n＝3時，23<32，即2n52，即2n>n2， 當n＝6時，26>62，即2n>n2， … 猜測，當n≥5時，2n>n2. 下面用數(shù)學歸納法證明猜測成立． ①當n＝5時，由上可知猜測成立． ②設n＝k(k≥5)時，命題成立，即2k>k2. ∴2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1) ＝(k＋1)2，即n＝k＋1時命題也成立． 由①和②可得，n≥5時，2n>n2(n∈N*)． 17．(本小題滿分12分)某少數(shù)

11、民族的刺繡有著悠久的歷史，圖2為她們刺繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形． 圖2 (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式； (3)求＋＋＋…＋的值． 【解】　(1)f(5)＝41. (2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， … 由以上

12、規(guī)律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n， 因為f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)] ＝2n2－2n＋1. (3)當n≥2時，＝＝(－)， 所以＋＋＋…＋ ＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－. 18．(本小題滿分14分)已知a、b、c＞0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)． 【證明】　∵a、b、c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)， ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2， 將三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2. ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)． ∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．