2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.2 概率、隨機變量及其分布列學(xué)案 理

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1、第2講　概率、隨機變量及其分布列 考點1　古典概型與幾何概型 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝. [例1]　(1)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和“陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(　　) A. B. C. D. (2)[2019·鄭州一模]已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機投擲質(zhì)點M，則滿足·≥0的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)本題主

2、要考查古典概型、計數(shù)原理等知識，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算． 由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝＝.故選A. (2)由·≥0，知∠BMC為銳角或直角，則點M所在的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則所求概率P＝1－＝1－＝，故選B. 【答案】　(1)A　(2)B 解答幾何概型、古典概型問題時的策略 (1)有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識． (2)在求基本事件的

3、個數(shù)時，要準確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是確定構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. 『對接訓(xùn)練』 1．[2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考]某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：從裝有形狀、大小完全相同的2個紅球、3個籃球的箱子中，任意取出2個球，若取出的2個球顏色相同，則中獎，否則不中獎．則中獎的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)事件A為“中獎”，則P(A)＝＝＝.故選C. 答案：C 2．[2

4、019·山東青島調(diào)研]有一底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點A，則點A到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)點A到點O的距離小于或等于1的概率為P1，則P1＝＝＝，故點A到點O的距離大于1的概率P＝1－＝，故選B. 答案：B 考點2　相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗 1．條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率： P(B|A)＝. 2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．獨立重復(fù)試驗、二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)

5、生k次的概率為 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. [例2]　[2019·全國卷Ⅱ]11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率． 【解析】　本題主要考查互斥事件的概率、相互獨立事件的概率，意在考查考生的邏輯思維能力、數(shù)據(jù)獲取與處理能力、運算求解能力，考

6、查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算． (1)X＝2就是1010平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分． 因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. (1)求復(fù)雜事件概率的兩種方法 ①直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同

7、時發(fā)生的積事件或一獨立重復(fù)試驗問題，然后用相應(yīng)概率公式求解． ②間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解． (2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同. 『對接訓(xùn)練』 3．[2019·河南一診]某班為了活躍元旦晚會的氣氛，主持人請12位同學(xué)做一個游戲，第一輪中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六

8、張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué)，最后留下的這位同學(xué)獲得一個獎品．已知同學(xué)甲參加了該游戲． (1)求甲獲得獎品的概率； (2)設(shè)X為甲參加游戲的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)設(shè)“甲獲得獎品”為事件A，在每輪游戲中，甲留下的概率與他摸卡片的順序無關(guān)，則P(A)＝×××＝. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4，則 P(

9、X＝1)＝＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝××＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 考點3　離散型隨機變量的分布列、均值與方差 1．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))． 2．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [例3]　[2

10、019·廣東佛山調(diào)研]某市對居民用水?dāng)M實行階梯水價，每戶用水量不超過w米3的部分按4元/米3收費，超出w米3的部分按10元/米3收費，從該市隨機調(diào)查了100戶家庭，獲得了他們某月的用水量，用水量分組為：第一組[0.5,1)，第二組[1,1.5)，…，第八組[4,4.5]，由此得到如下頻率分布直方圖，并且前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列． (1)求a，b，c的值及居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上的居民月用水價格為4元/米3，請估計w的值(精確到小數(shù)點后兩位)； (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機調(diào)查3戶居民的月用水量，將月用水量不超過2.5米3的

11、戶數(shù)記為X，求X的分布列及均值． 【解析】　(1)∵前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，∴所對應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列， ∴可設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 得d＝0.1，a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 故居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻率為0.25. ∴居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25(人)． (2)由圖可知，居民月用水量不超過2.5米3的頻率為0.7<0.8， ∴為使80%以上居民月用水價格為4元/米3， w＝2.5

12、＋≈2.83(米3)． (3)將頻率視為概率，設(shè)A代表居民月用水量，由圖知P(A≤2.5)＝0.7， 則由題意可知X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝2.1. 解答離散型隨機變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路： (1)明確隨機變量可能取哪些值． (

13、2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?，并計算這些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 『對接訓(xùn)練』 4．[2019·湖南兩市聯(lián)考]某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．一個運動員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分數(shù)之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解析：(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“

14、丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P()＝1－××＝. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P()＝； P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 課時作業(yè)18　概率、隨機變量及其分布列 1．[2019·湖北宜昌聯(lián)考]某次下課后，某教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，若他們依次走出教室，則第2個走出的是女同

15、學(xué)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知共有6個基本事件，第2個走出的是女同學(xué)包含2個基本事件，所以第2個走出的是女同學(xué)的概率是. 答案：B 2．[2019·山東青島調(diào)研]已知某運動員每次投籃投中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機數(shù)法估計該運動員三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計算器隨機產(chǎn)生0～9中的整數(shù)，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．現(xiàn)產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù)；907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估計該運動員三次投籃恰有兩次投中的概率為(　　)

16、A. B. C. D. 解析：隨機模擬產(chǎn)生了10組隨機數(shù)，在這10組隨機數(shù)中，表示三次投籃恰有兩次投中的有191,271,932，共3組，故所求概率為，故選C. 答案：C 3．[2019·廣東佛山調(diào)研]將一根長為6 m的繩子剪成兩段，則其中一段大于另一段的2倍的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：繩子的長度為6 m，剪成兩段后，設(shè)其中一段的長度為x m，則另一段的長度為(6－x)m，記“其中一段的長度大于另一段長度的2倍”為事件A，則A＝{x|}＝{x|0

17、形的長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積為(　　) A．16.32 B．15.32 C．8.68 D．7.68 解析：由題意，可估計橢圓的面積為×6×4＝16.32.故選A. 答案：A 5．[2019·廣東惠州二調(diào)]設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，則實數(shù)a等于(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：由隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)可得正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直線x＝4，又P(ξa＋1)，所以直線x＝a－5與x＝a＋1關(guān)于直

18、線x＝4對稱，所以a－5＋a＋1＝8，即a＝6.故選B. 答案：B 6．[2019·河南中原名校聯(lián)盟一模]市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大約的人喜歡在網(wǎng)上購買家用小電器，其余的人則喜歡在實體店購買家用小電器．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上購買的家用小電器的合格率約為，而實體店里的家用小電器的合格率約為.現(xiàn)工商局接到一個關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購買的可能性是(　　) A. B. C. D. 解析：∵大約的人喜歡在網(wǎng)上購買家用小電器，網(wǎng)上購買的家用小電器的合格率約為，∴某家用小電器是在網(wǎng)上購買的，且被投訴的概率約為×＝，又實體店里的家用小電器的合格率約為，∴某家用小電

19、器是在實體店里購買的，且被投訴的概率約為×＝，故工商局接到一個關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購買的可能性P＝＝. 答案：A 7．[2019·湖北部分重點中學(xué)起點考試]有4位游客去某地旅游，若每人只能從此地甲、乙、丙三個不同景點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：通解　由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個不同景點中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．第一步：從三個不同景點中選出一個景點的選法有C種；第二步：從4位游客中選2位到第一步選出的景點去游覽，有C種方法；第三步：余下2位游客到余下的兩個景點

20、的分法有A種．所以每個景點都有人去游覽的方法有CCA＝36(種)，于是所求概率P＝＝，故選D. 優(yōu)解　由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個不同景點中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．將4位游客分為3組的分法有C種，然后將這3組游客分到甲、乙、丙三個不同景點，其分法有A種，由分步乘法計數(shù)原理知，每個景點都有人去游覽的方法有CA＝36(種)．于是所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 8．[2019·黑龍江齊齊哈爾模擬] 隨著計算機的出現(xiàn)，圖標(biāo)被賦予了新的含義，有了新的用武之地．在計算機應(yīng)用領(lǐng)域，圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計算機圖形．如圖所示的圖標(biāo)是一種被稱為“黑白太陽”的圖標(biāo)，該

21、圖標(biāo)共分為三部分．第一部分為外部的八個全等的矩形，每一個矩形的長為3、寬為1；第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域．在整個“黑白太陽”圖標(biāo)中隨機取一點，則此點取自圖標(biāo)第三部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：圖標(biāo)第一部分的面積為8×3×1＝24，圖標(biāo)第二部分的面積和第三部分的面積和為π×32＝9π，圖標(biāo)第三部分的面積為π×22＝4π，故此點取自圖標(biāo)第三部分的概率為，故選B. 答案：B 9．[2019·湖南長沙一模]已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個這種元件使用到1年時還未損壞，則這個元

22、件使用壽命超過2年的概率為(　　) A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48 解析：設(shè)一個這種元件使用到1年時還未損壞為事件A，使用到2年時還未損壞為事件B，則由題意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，則這個元件使用壽命超過2年的概率為P(B|A)＝＝＝0.75，故選A. 答案：A 10．[2019·湖南株洲聯(lián)考] 如圖，三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影部分)．設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1 000顆米粒(大小忽略不計)，則落在小正方形(陰影部分)內(nèi)的米

23、粒數(shù)大約為(≈1.732)(　　) A．134 B．866 C．300 D．500 解析：設(shè)大正方形的邊長為2x，則小正方形的邊長為x－x，向弦圖內(nèi)隨機拋擲1 000顆米粒(大小忽略不計)，設(shè)落在小正方形(陰影部分)內(nèi)的米粒數(shù)大約為a，則＝，解得a＝1 000×≈134.故選A. 答案：A 11．[2019·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]若隨機變量X～B，則P(X＝3)＝________. 解析：隨機變量X～B，則P(X＝3)＝C×3×＝. 答案： 12．[2019·廣東肇慶聯(lián)考]已知某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是________． 解析：

24、由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P＝＝. 答案： 13．[2019·福建福州質(zhì)量抽測]甲、乙、丙三位同學(xué)獨立解決同一個問題，已知三位同學(xué)能夠解決這個問題的概率分別為，，，則有人能夠解決這個問題的概率為________． 解析：沒有人能解決這個問題的概率為＝，故有人能夠解決這個問題的概率為1－＝. 答案： 14．[2019·全國卷Ⅰ]甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲

25、勝的概率是________． 解析：本題主要考查獨立事件的概率、對立事件的概率，考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算． 記事件M為甲隊以4：1獲勝，則甲隊共比賽五場，且第五場甲隊獲勝，前四場甲隊勝三場負一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 答案：0.18 15．[2019·江蘇南通聯(lián)考]甲、乙兩人玩摸球游戲，每兩局為一輪，每局游戲的規(guī)則如下：甲、乙兩人從裝有4個紅球、1個黑球(除顏色外完全相同)的袋中輪流不放回摸取1個球，摸到黑球便結(jié)束該局，且摸到黑球的人獲勝． (1)若在一局游戲中甲先

26、摸，求甲在該局獲勝的概率； (2)若在一輪游戲中約定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并獲勝的人得1分，后摸并獲勝的人得2分，未獲勝的人得0分，求此輪游戲中甲得分X的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)記“一局中甲先摸，甲在該局獲勝”為事件A，易知黑球被摸到的情況有5種，且被甲摸到的情況有3種，所以P(A)＝. 故甲在該局獲勝的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，則 P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝×＝， 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝×

27、0＋×1＋×2＋×3＝. 16．[2019·貴州貴陽監(jiān)測]互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠郑甅市某調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣A、外賣B)的服務(wù)質(zhì)量進行了調(diào)查，從使用過這兩家外賣服務(wù)的市民中隨機抽取了1 000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數(shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表： 　　　分數(shù) 種類　　　 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 外賣A(人數(shù)) 50 150 100 400 300 外賣B(人數(shù)) 100

28、100 300 200 300 表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意．若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價較高．現(xiàn)將分數(shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個檔次： 分數(shù) [0,40) [40,60) [60,80) [80,100] 服務(wù)質(zhì)量指標(biāo) 0 1 2 3 用頻率表示概率，解決下列問題： (1)從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望； (2)從參與調(diào)查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率． 解析：(1)由頻數(shù)

29、分布表可知，對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的頻率為＝，將頻率作為概率，則從該市使用過外賣A的市民中抽取1人，對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的概率P＝， 顯然X～B， 故E(X)＝5×＝. (2)記外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Ai，外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Bi，i∈{0,1,2,3}， 則其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率為 P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24. 17．[2019·河北武邑中學(xué)期

30、末]我國城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別如下表： 空氣污 染指數(shù) 0～50 51～ 100 101～ 150 151～ 200 201～ 250 251～ 300 >300 空氣 質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微 污染 輕度 污染 中度 污染 中度重 污染 重污染 我們把空氣污染指數(shù)在0～100內(nèi)的稱為A類天，在101～200內(nèi)的稱為B類天，大于200的稱為C類天．某市從2018年全年空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取了18天的數(shù)據(jù)制成如下莖葉圖(百位為莖)： (1)從這18天中任取3天，求至少含2個A類天的概率； (2)從這18天中

31、任取3天，記X是達到A類天或B類天的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)為C＝816， 3天中至少有2個A類天的取法種數(shù)為CC＋C＝46， 所以這3天至少有2個A類天的概率為. (2)X的所有可能取值是3,2,1,0. 當(dāng)X＝3時，P(X＝3)＝＝， 當(dāng)X＝2時，P(X＝2)＝＝， 當(dāng)X＝1時，P(X＝1)＝＝＝， 當(dāng)X＝0時，P(X＝0)＝＝＝. 所以X的分布列為 X 3 2 1 0 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝. 18．[2019·安徽宿州三調(diào)]為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾，保障電力供應(yīng)

32、，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，安徽省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標(biāo)準：以一個年度為計費周期、月度滾動使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.865 3元/度． 某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下： 用戶 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用

33、電 量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 (1)計算表中編號為10的用戶該年應(yīng)交的電費； (2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列與期望． 解析：(1)因為第二檔電價比第一檔電價每度多0.05元， 第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元， 編號為10的用戶一年的用電量是4 600度， 所以該戶該年應(yīng)交電費 4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． (2)設(shè)取到第二階梯的戶數(shù)為X， 易知第二階梯的有4戶，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 故X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. - 17 -