2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

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1、第2章 圓錐曲線與方程 圓錐曲線定義的應(yīng)用 【例1】　(1)已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為(　　) A．9　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．4 (2)若點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)C是橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的動點(diǎn)，則|AM|＋|AC|的最小值是________． (1)A　(2)8－2　[(1)設(shè)右焦點(diǎn)為F′，則F′(4,0)，依題意，有|PF|＝|PF′|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. (2)設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，則B(－3,0)，點(diǎn)

2、M(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝＝2， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.] 研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問題時，常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題. 提醒：應(yīng)用定義解決問題時，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應(yīng)的結(jié)論. 1．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則

3、C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5， ∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] 2．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L-距離”定義為|P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是圖中的(　

4、　) A　[設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)，則點(diǎn)P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，代入坐標(biāo)，得|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.當(dāng)y＞0時，y＝當(dāng)y≤0時，y＝結(jié)合選項(xiàng)可知A正確，故選A.] 圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】　(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，點(diǎn)A

5、(0,1)與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是，求雙曲線方程． (1)A　[如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 由PF⊥x軸得 P. 設(shè)E(0，m)， 又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， ∴e＝＝. 故選A.] (2)[解]　∵e＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，設(shè)雙曲線－＝1上一點(diǎn)B(x，y)，則|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝5y2－2y＋4b2＋1＝52＋4b2＋.當(dāng)y＝時，|AB|取得最小值，為，即＝，∴b2＝1，雙曲線方程為－y2

6、＝1. 圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強(qiáng)，需弄清每個性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應(yīng)用到解題中去. 3．(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. A　[如圖：以O(shè)F為直徑的圓的方程為x－2＋y2＝，① 又x2＋y2＝a2，② ①－②得交線PQ的直線方程為：x＝， 代入②，得y＝±， 又|PQ|＝|OF|， 則2＝c，∴a＝b，e＝， 故選A.] 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 【例3】　已知直線l：x＝

7、my＋1(m≠0)恒過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)． (1)若拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程； (2)對于(1)中的橢圓C，若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ1，＝λ2，當(dāng)m變化時，求λ1＋λ2的值． [解]　 (1)根據(jù)題意，直線l：x＝my＋1(m≠0)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F， ∴F(1,0)，∴c＝1， 又∵拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)， ∴b＝，∴b2＝3.∴a2＝b2＋c2＝4， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)∵直線l與y軸交于M， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3m

8、2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴＋＝(*)， 又由＝λ1，∴＝λ1(1－x1，－y1)， ∴λ1＝－1－， 同理λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－， ∴λ1＋λ2＝－. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；(2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；

9、(3)有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算. 4．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上． (1)求曲線C的方程及t的值； (2)記d＝，求d的最大值． [解]　(1)y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－， ∴1－＝，p＝， ∴拋物線C的方程為y2＝x. 又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，∴t＝1. (2)由(1)知，點(diǎn)M(1,1)，從而n＝m，即點(diǎn)Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直

10、線AB的斜率為k(k≠0)， 且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2， 故k·2m＝1， ∴直線AB的方程為y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， ∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 從而|AB|＝·|y1－y2| ＝· ＝2. ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－m，即m＝時，上式等號成立， 又m＝滿足Δ＝4m－4m2＞0. ∴d的最大值為1. 數(shù)學(xué)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用 【例4】　已知定點(diǎn)F(0,1)

11、和直線l1：y＝－1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓的圓心為點(diǎn)C. (1)求動點(diǎn)C的軌跡方程； (2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P，Q，交直線l1于點(diǎn)R，求·的最小值． [解]　(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離， ∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線， ∴動點(diǎn)C的軌跡方程為x2＝4y. (2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為y＝kx＋1(k≠0)， 與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為， ∴· ＝· ＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1

12、＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8. ∵k2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1時取等號， ∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16. 函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題應(yīng)用廣泛，主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題. 5．設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)求證|EA|＋|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與

13、l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． [解]　(1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC， 所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2， 由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y＝－(x－1)，點(diǎn)A到直線m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4， 故四邊形MPNQ的面積S＝|MN|·|PQ|＝12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)． 當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)． - 9 -