2022年高二數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測(cè)試卷 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高二數(shù)學(xué)5月質(zhì)量檢測(cè)試卷 文（含解析）新人教A版 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則z ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由故選A． 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算． 2．已知集合，則集合=( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：化

2、簡(jiǎn)集合，故選Ｂ． 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算． 3．設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的( 　 ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：由“φ＝0”可以推出“f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx (x∈R)為偶函數(shù)”,所以是充分的，再由“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”可以推出，并不一定有φ＝0，所以不必要；因此“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件；故選A． 考點(diǎn)

3、：充要條件． 4．函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由函數(shù)恒過定點(diǎn)(0,1)知，令x-1=0得到x=1,且y=2；所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),故選B． 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)． 5．點(diǎn)在圓的（ ）． A．內(nèi)部 B．外部 C．圓上 D．與θ的值有關(guān) 【答案】A 【解析】 試題分析：將圓的參數(shù)方程化為普通方程得：知該圓的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑r=8,而點(diǎn)（1，2）到圓心的距離為：，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部；故選A． 考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程． 6

4、．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)?，且，故所求切線方程為：，故選Ｃ． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 7．函數(shù)有極值的充要條件是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)有極值的充要條件是：有變號(hào)零點(diǎn)a<0,故選B． 考點(diǎn)：函數(shù)的極值． 8．雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于( ) A. B．-2t C． D．4 【答案】C 【解析】 試題

5、分析：由于雙曲線，所以其虛軸長(zhǎng),故選C． 考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 9．設(shè)，則的最小值為（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由于，所以lga>0,lgb>0,lgc>0,由換底公式得,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，所以的最小值為3；故選A． 考點(diǎn)：基本不等式． 10．點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由于橢圓，所以可設(shè)點(diǎn)Ｐ(x

6、,y)的代入得：（其中）=，故知的最大值為． 考點(diǎn)：１．橢圓的性質(zhì)；2.最值的求法． 11．已知函數(shù)則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：注意到是常數(shù),所以,令得 ,故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 12．斜率為的直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左右兩支都相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：如圖,要使斜率為的直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左右兩支都相

7、交，必須且只需即可,從而有所以有離心率,故選D. 考點(diǎn)：雙曲線的離心率. 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 13．已知，，則 ． 【答案】 【解析】 試題分析：注意到，所以有 ，故應(yīng)填入：． 考點(diǎn)：正切的和角公式． 14．函數(shù)在恒為正，則實(shí)數(shù)的范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：注意到，所以函數(shù)在恒為正顯然不可能；或，故應(yīng)填入：． 考點(diǎn)：不等式的恒成立． 15．函數(shù)的值域?yàn)? ． 【答案】［

8、－7，7］ 【解析】 試題分析：由于函數(shù)，（其中且是第一象限角）故知函數(shù)的值域?yàn)椋郏?，7］；故應(yīng)填入［－7，7］. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的值域. 16．關(guān)于函數(shù)，有下列命題 ①由，可得必是的整數(shù)倍； ②的表達(dá)式可改寫成； ③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； ④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．其中正確命題的序號(hào)為 ． 【答案】②③ 【解析】 試題分析：對(duì)于①令由可得x1-x2必是的整數(shù)倍,故①錯(cuò)誤；對(duì)于②故②正確；對(duì)于③令，當(dāng)k=0時(shí)，得到，所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱；故③正確；對(duì)于④令，無(wú)論k取什么值，x都不等于-；其實(shí)由3知道4是錯(cuò)誤的．故應(yīng)填入②③． 考

9、點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 評(píng)卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 17．(1)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求證：

10、必找充要條件，只須找充分條件即可；（2）先由已知函數(shù)計(jì)算出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，尋找規(guī)律不難猜想出：其自變量和為1的兩個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和也為定值：；證明也就只須用函數(shù)的解析式計(jì)算出f(x)＋f(1－x)的值即可． 試題解析：(1)證明：要證0， 只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0. ∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴ (a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立； （2

11、）f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝. 證明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋＝＋＝＝. 考點(diǎn)：１．不等式的證明方法:分析法；2.歸納、猜想與證明. 18．設(shè)函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線. （1）求； （2）求f(x)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱中心． 【答案】（1）;（2）;;. 【解析】 試題分析：（1）由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的對(duì)稱軸均是通過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)向x軸所引的垂線，既然函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，所以函數(shù)在處取得最值，從而，又因

12、為，從而可求得的值；（2）由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)增區(qū)間由不等式：求得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由求得，而縱標(biāo)為零；將（1）結(jié)果及已知代入上邊公式即可求得對(duì)應(yīng)結(jié)果． 試題解析：（1）由條件知： ∵，∴ （2）f(x)的最小正周期為，由 得遞增區(qū)間為；對(duì)稱中心為 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 19．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是．已知 （1）求角C的大?。? （2）若，求△ABC外接圓半徑． 【答案】（1）（2）． 【解析】 試題分析：（1）由三角函數(shù)給值求角知識(shí)可知：要求角的大小，首先必須明確角的范圍，再就是求出角的某一三角函數(shù)值；因此既然是求角

13、Ｃ，而已知等式中只含有角Ｃ，所以只須將cosC移到等式的右側(cè)，逆用余弦倍角公式，左邊用正弦的倍角公式化成再注意到，從而可得，然后兩邊一平方就可求得sinC=,但不能就此得到角C為，還必須注意到，所以（2）由正弦定理可知：△ABC外接圓半徑R滿足，由(1)知角C的大小,所以只需求出邊c即可；注意觀察已知等式知可分別按邊a,b配方得到從而得到再用余弦定理就可求出邊c，進(jìn)而就可求得三角形的外接圓半徑． 試題解析：（1）∵即 由，∴,即 ∵，得即，所以 （2）由得得 ∴∴． 考點(diǎn)：１．三角公式；２．正弦定理和余弦定理． 20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＝1(a>b>0)

14、的左焦點(diǎn)為F1(－1，0)，且點(diǎn)P(0，1)在C1上． (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程． 【答案】(1)＋y2＝1； (2)y＝x＋或y＝－x－. 【解析】 試題分析：(1)由于橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，知其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸就是兩坐標(biāo)軸，所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值，然后由 求得的值，進(jìn)而就可寫出橢圓的方程；(2)由已知得，直線l的斜率顯然存在且不等于0，故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，然后聯(lián)立直線方程與橢圓C1的方程，消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程，由直線l同時(shí)與橢圓C1相切知，其判別式等于零

15、得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程；再聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程，消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程，由直線l同時(shí)與拋物線C2相切知，其判別式又等于零，再得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程；和前一個(gè)方程聯(lián)立就可求出k,m的值，從而求得直線l的方程． 試題解析：(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(－1，0)， 所以c＝1.將點(diǎn)P(0，1)代入橢圓方程＝1， 得＝1，即b＝1. 所以a2＝b2＋c2＝2. 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相

16、切， 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0. 整理，得2k2－m2＋1＝0， ① 由消y，得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. ∵直線l與拋物線C2相切， ∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1， ② 聯(lián)立①、②，得或 ∴l(xiāng)的方程為y＝x＋或y＝－x－. 考點(diǎn)：１．橢圓的方程；２．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系． 21．已知函數(shù)， ． (1)求在點(diǎn)處的切線方程； (2)證明: 曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)； (3)設(shè)，比

17、較與的大小, 并說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)祥見解析; （3）. 【解析】 試題分析：(1)由于為切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，化成一般式即可；(2)要證兩曲線有唯一公共點(diǎn)，只須證兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)有唯一零點(diǎn)，注意到差函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為零，所以只須用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在R上是一單調(diào)函數(shù)即可；（3）要比較兩個(gè)式子的大小，一般用比差法：作差，然后對(duì)差式變形，最后確定差式的符號(hào)．此題作差后字母較多，注意觀察，可構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，從而達(dá)到確定符號(hào)的目的． 試題解析：(1)，則，點(diǎn)處的切線方程為：,即 (2)令 ，，則，，

18、且，，因此， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. 所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)， 所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn). （3）設(shè) 令,則, 所以在上單調(diào)遞增,且,因此,從而在上單調(diào)遞增,而,所以在上;即當(dāng)時(shí), ,又因?yàn)?所以有;所以當(dāng)時(shí), . 考點(diǎn)：１．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；２．導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 22．已知函數(shù)的減區(qū)間是（-2，2） （1）試求m,n的值； （2）求過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程； （3）過點(diǎn)A(1,t)，是否存在與曲線相切的3條切線，若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】⑴m=1，n=0; ⑵或;⑶存在, . 【解

19、析】 試題分析：（1）由已知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-2,2)即為的解集為(-2,2)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m與n的值即可；（2）當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，化成一般式即可，當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，），這時(shí)切線的斜率是k=，將點(diǎn)A（1，-11）代入得到關(guān)于x0的方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出切線方程；（3）存在滿足條件的三條切線．設(shè)點(diǎn)P（x0，）是曲線f（x）=x3-12x的切點(diǎn)，寫出在P點(diǎn)處的切線的方程為y-=（x-x0）將點(diǎn)A（1，t）代入，將t分離出來(lái)，根據(jù)有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，設(shè)g（x）=2x3-3x2+t+1

20、2，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可．建立不等關(guān)系解之即可． 試題解析：⑴由題意知：的解集為（-2，2），所以，-2和2為方程3mx2+4nx-12=0的根，由韋達(dá)定理知，解得:m=1，n=0. ⑵ ∵，∴，∵ 當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率 ， ∴切線為，即； 當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，這時(shí)切線的斜率是， 切線方程為，即 因?yàn)檫^點(diǎn)A（1，-11）， ， ∴， ∴ 或，而為A點(diǎn)，即另一個(gè)切點(diǎn)為， ∴ ， 切線方程為 ，即 所以，過點(diǎn)的切線為或. ⑶ 存在滿足條件的三條切線. 設(shè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn)， 則在P點(diǎn)處的切線的方程為 即 因?yàn)槠溥^點(diǎn)A（1，t），所以，， 由于有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根， 設(shè)，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可． 設(shè) =0， ∴ 分別為的極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，在和 上單增， 當(dāng)時(shí)，在上單減， 所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn). 所以要使曲線與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)即， 解得：. 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.