2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 理 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))． 2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則． (1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； (2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)·v(x)＋u(x)·v′(x)； (3)′＝(v(x)≠0)． 3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)． 復(fù)合函數(shù)y

2、＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′． 1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 一般地，在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)： (1)如果f′(x)＞0?函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； (2)如果f′(x)＜0?函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； (3)如果f′(x)＝0?函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)． 2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)： (1)若在點(diǎn)x＝a處有f′(a)＝0，且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則稱x＝a為f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫函數(shù)

3、f(x)的極小值． (2)若在點(diǎn)x＝b處有f′(b)＝0，且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則稱x＝b為f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫函數(shù)f(x)的極大值． 3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟： (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)． (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(×

4、) (2)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(√) (3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．(×) (4)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0.(×) (5)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(√) (6)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件．(√) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(xx·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)＜0，則a的取值范圍是(D) A. B

5、. C. D. 解析：∵ f(0)＝－1＋a＜0，∴ x0＝0. 又∵ x0＝0是唯一的使f(x)<0的整數(shù)，∴ 即解得a≥. 又∵ a＜1，∴ ≤a＜1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝，符合題意．故選D. 3．(xx·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為3. 解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3. 5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (2)y＝x2sin x. 答案

6、：(1)y′＝18x2＋4x－3 (2)y′＝2xsin x＋x2cos x 一、選擇題 1．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(B) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：∵y＝x2－ln x，∴y′＝x－，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x＞0，∴0＜x≤1.故選B. 2．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(A) A. B．[－1，0] C．[0，1] D.

7、解析：設(shè)P(x0，y0)， ∵y′＝2x＋2， ∴曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率為2x0＋2. 又切線傾斜角范圍是， ∴斜率范圍是[0，1]． 即2x0＋2∈[0，1]，∴x0∈. 3．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是(C) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 解析：∵f′(x)＝＝. 則由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0. ∴b≤－1. 4．(xx·陜西卷)對(duì)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論

8、是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是(A) A．－1是f(x)的零點(diǎn) B．1是f(x)的極值點(diǎn) C．3是f(x)的極值 D．點(diǎn)(2，8)在曲線y＝f(x)上 解析：A中－1是f(x)的零點(diǎn)，則有a－b＋c＝0.① B中1是f(x)的極值點(diǎn)，則有b＝－2a.② C中3是f(x)的極值，則有＝3.③ D中點(diǎn)(2，8)在曲線y＝f(x)上，則有4a＋2b＋c＝8.④ 聯(lián)立①②③解得a＝－， b＝， c＝. 聯(lián)立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，從而可判斷A錯(cuò)誤，故選A. 5．(xx·江西卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2－x＋與y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的圖象不可能的

9、是(B) 解析：當(dāng)a＝0時(shí)，兩函數(shù)圖象如D所示，當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)函數(shù)y＝a2x3－2ax2＋x＋a，令y′＝3a2x2－4ax＋1＝0得：x＝或x＝，y＝ax2－x＋的對(duì)稱軸為x＝.當(dāng)a＜0時(shí)，由＜＜知B不對(duì)，當(dāng)a＞0時(shí)，由＞＞知A，C正確． 6．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(A) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：記函數(shù)g(x)＝，則g′

10、(x)＝，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，由因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且g(－1)＝g(1)＝0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0，則f(x)＞0；當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＜0，則f(x)＜0，綜上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1)，故選A. 答案：A 7．函數(shù)y＝f(x)在定義域 內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為(A) A.∪[2，3)

11、B.∪ C.∪[1，2] D.∪ 二、填空題 9．(xx·陜西卷)函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y＝－． 解析：由題知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函數(shù)解析式可得極值點(diǎn)的坐標(biāo)為，又極值點(diǎn)處的切線為平行于x軸的直線，故方程為y＝－. 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象都過點(diǎn)P(2，0)，且在點(diǎn)P處有相同的切線． (1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值； (2)設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性． 解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝

12、bx2＋c的圖象都過點(diǎn)P(2，0)， 所以得a＝－8，4b＋c＝0. 故f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8. 又當(dāng)x＝2時(shí)，f′(x)＝16，又g′(x)＝2bx， 所以2b×2＝16，得b＝4，c＝－16. 所以a＝－8，b＝4，c＝－16. (2)因?yàn)镕(x)＝2x3＋4x2－8x－16， 所以F′(x)＝6x2＋8x－8. 由F′(x)＞0，得x＜－2或x＞； 由F′(x)＜0，得－2＜x＜. 所以，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，F(xiàn)(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，F(xiàn)(x)是減函數(shù)． 11．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝em

13、x＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增； (2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． 解析：(1)證明：f′(x)＝m(emx－1)＋2x. 若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1≤0，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1≥0，f′(x)>0. 若m<0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1>0，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1<0，f′(x)>0. 所以，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由(1)知，對(duì)任

14、意的m，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是 即① 設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1. 當(dāng)t<0時(shí)，g′(t)<0；當(dāng)t>0時(shí)，g′(t)>0. 故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0， 故當(dāng)t∈[－1，1]時(shí)，g(t)≤0. 當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)>0，即em－m>e－1； 當(dāng)m<－1時(shí)，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1. 綜上，m的取值范圍是[－1，1]．