2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試試題 文（含解析）新人教A版【試卷綜析】這套試題基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn),穩(wěn)中有變,變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度,體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神.,重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察,同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察,有相當(dāng)一部分的題目靈活新穎,知識(shí)點(diǎn)綜合與遷移.以它的知識(shí)性、思辨性、靈活性,基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì),考基礎(chǔ),考方法,考潛能的檢測(cè)功能.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符和題目要求的【題文】1設(shè)集合A=，Z為整數(shù)集，則A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算；一元二次不等式的解法. A1 E3【答案解析】D 解析：集合A=，所以故選D.【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)集合A 再求集合A 與整數(shù)集Z的交集.【題文】2已知函數(shù)，則在 A. 上單調(diào)遞增 B. 上單調(diào)遞增 C. 上單調(diào)遞減 D. 上單調(diào)遞減【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B4 B12【答案解析】B 解析：在恒成立，在上單調(diào)遞增，故選B.【思路點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性.【題文】3在中，已知M是BC中點(diǎn)，設(shè)則 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算. F1【答案解析】A 解析：，故選A.【思路點(diǎn)撥】由向量加法的三角形法則得結(jié)論.【題文】4是的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件. A2【答案解析】D 解析：若，滿足，而，不滿足，所以不是的充分條件；若時(shí)，滿足，但不滿足，所以不是的必要條件.故選D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)充分性、必要性的定義判斷.【題文】5已知函數(shù)的圖像如圖，則 A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì). B7【答案解析】C 解析：這些圖像與直線y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次是c,a,b.所以c<a<b,故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與直線y=1交點(diǎn)橫坐標(biāo)是此對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，因此只需從圖像上看這組函數(shù)與直線y=1的交點(diǎn)的先后順序即可.【題文】6已知函數(shù)則函數(shù)的最大值是 A.4 B.3 C.5 D. 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；函數(shù)的最值. C6 B3【答案解析】B 解析：，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值3，所以選B.【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，再配方求得最值.【題文】7對(duì)于空間的一條直線m和兩個(gè)平面，下列命題中的真命題是 A.若則 B. .若則 C.若則 D. 若則【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系. G4 G5【答案解析】C 解析：若則平面可能平行可能相交，所以A,B是假命題；顯然若則成立，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論.【題文】8等比數(shù)列中，已知，則前5項(xiàng)和 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D3 【答案解析】A 解析：由已知得，解得或，所以或，故選A.【思路點(diǎn)撥】由已知條件求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出前5項(xiàng)和.【題文】9已知中，BC=3，AC=4，AB=5點(diǎn)P是三邊上的任意一點(diǎn)，m=,則m的最小值是 A.-25 B. C. D.0【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. F3【答案解析】B 解析：由已知得是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(4，0),B(0，3),設(shè)P(x,y),則，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段CA上移動(dòng)時(shí)，y=0, ,所以此時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)m有最小值-4；當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上移動(dòng)時(shí), ，所以此時(shí)，當(dāng)y= 時(shí)m有最小值；當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí), 且，所以此時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)m有最小值.故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.【題文】10經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線，交雙曲線與，兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì). H6【答案解析】D 解析：設(shè)雙曲線方程為，把x=c代入雙曲線方程可得代入漸近線方程可得，因?yàn)椋?，又，所以可?故選D.【思路點(diǎn)撥】設(shè)出雙曲線方程，求得線段AB、PQ關(guān)于a,b,c的表達(dá)式，然后代入 ，再與結(jié)合，求得離心率.二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）【題文】11等差數(shù)列中，已知，則【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì). D2 【答案解析】1007 解析：由得：.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)，且時(shí)，求解.【題文】12已知是鈍角，則 .【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的求值. C7【答案解析】 解析：因?yàn)槭氢g角，所以，所以.【思路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的正弦公式求解.【題文】13垂直于直線x+2y-3=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線的方程 .【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直的條件；直線的方程. H1 H2【答案解析】 解析：因?yàn)樗笾本€與直線x+2y-3=0垂直，所以所求直線的斜率為2，又所求直線過(guò)點(diǎn)（2,1），所以所求直線方程為：y-1=2(x-2),即.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互相垂直的直線斜率乘積為-1，得所求直線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.【題文】14若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 .【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖. G2【答案解析】32 解析：由三視圖可知：此幾何體是四棱錐，其底面是鄰邊長(zhǎng)分別為6, 4的矩形，且棱錐高為4，所以該幾何體的體積是.【思路點(diǎn)撥】先由三視圖獲得此幾何體的結(jié)構(gòu)，底面特點(diǎn)，棱的特點(diǎn)，然后求此幾何體的體積. 【題文】15已知，則的最小值是 .【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. E5 【答案解析】-4 解析：畫(huà)出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線y=2x，得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是直線x+y+2=0與直線x-3y+2=0的交點(diǎn)A(-2，0),所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為：.【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線y=2x，得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是方程組的解，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為-4.【題文】16已知正實(shí)數(shù)a,b滿足，則ab的最小值是 .【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的應(yīng)用. E6【答案解析】 解析：因?yàn)閍>0,b>0,所以3 =.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最小值是.【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式求解.【題文】17若圓與圓關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，則圓C的方程是 .【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程；對(duì)稱問(wèn)題. H3【答案解析】 解析：設(shè)C(a,b),因?yàn)橐阎獔A的圓心A(-1,0),由點(diǎn)A、C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱得，解得，又圓的半徑是1，所以圓C的方程是，即.【思路點(diǎn)撥】由兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則兩圓圓心關(guān)于此直線對(duì)稱，因此設(shè)出圓心C的坐標(biāo)（a,b）,由對(duì)稱軸垂直平分兩圓心確定的線段，得關(guān)于a,b的方程組求得a,b，又兩圓半徑相等，從而得到圓C方程.三、解答題（本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）【題文】18（本題14分）在中，已知（1）求 角C; (2)若c=4,求a+b的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】解三角形；利用基本不等式求最值. C8 E6【答案解析】（1）；（2）8. 解析：（1）因?yàn)?，所?分又，故角8分（2）因?yàn)椋?0分又，所以，從而，其中時(shí)等號(hào)成立故，的最大值為8 14分【思路點(diǎn)撥】（1）利用余弦定理求角B；（2）利用余弦定理及基本不等式求a+b的最大值.【題文】19已知數(shù)列滿足：求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【知識(shí)點(diǎn)】已知遞推公式求通項(xiàng)；數(shù)列求和. D1 D4【答案解析】（1）證明略，（2） . 解析：（1）由，得所以，成等比，公比，首項(xiàng)4分所以，即8分（2），10分所以，數(shù)列的前項(xiàng)和 12分14分【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，所以只需求的值即可；（2）由（1）可得，它是由兩個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)常數(shù)列的和構(gòu)成的，所以可以用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【題文】20(本題15分)如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中點(diǎn). （1）求證：平面PAB；（2）設(shè)二面角A-PB-C的大小為，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定；二面角的求法. G5 G11 【答案解析】（1）證明：略；（2） 解析：（1）因?yàn)榈酌妫?分因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以6分 所以，平面7分（第20題）（2）（幾何法）作于，連，則 所以，是二面角的平面角11分因?yàn)椋?，從而，?5分（向量法）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖平面的一個(gè)法向量10分（第20題），設(shè)是平面的法向量，則，取法向量13分故15分【思路點(diǎn)撥】（1）只需證明直線CM與平面PAB中兩條相交直線AB、AP垂直；（2）（幾何法）作出二面角的平面角，構(gòu)造含此角的三角形求解.(向量法) 建立空間直角坐標(biāo)系，確定所求二面角中每一個(gè)半平面的一個(gè)法向量，因?yàn)閮煞ㄏ蛄康膴A角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)，所以只需求這兩法向量夾角的余弦值即可.【題文】21(本題15分) 如圖，已知拋物線，點(diǎn)是x軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求證線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求a的值.【知識(shí)點(diǎn)】曲線與方程；直線與圓錐曲線. H9 H8【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設(shè)，中點(diǎn)為則，2分又，所以，從而6分故，線段的中點(diǎn)在直線上7分（2）直線：，由9分，12分若，則，即解得：15分【思路點(diǎn)撥】(1)利用點(diǎn)差法求出線段AB的中點(diǎn)軌跡方程即可；（2）把直線方程代入拋物線方程消去x得關(guān)于y的一元二次方程，再由弦長(zhǎng)公式及已知條件得關(guān)于a的方程，解得a值.【題文】22(本題14分) 已知a>0，函數(shù).試用定義證明：在上單調(diào)遞增；若時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】(1)函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立求參數(shù)范圍. B3 E1【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設(shè)，則 2分因?yàn)?，所以，所以，即，故，在上單調(diào)遞增 6分（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若，則在上單調(diào)遞增，所以，即，所以8分若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以10分若，則在上單調(diào)遞減，所以，即，所以12分綜合，14分【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，在給定區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)，且，通過(guò)判定的符號(hào)，來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）時(shí)，不等式恒成立，只需時(shí)即可，利用的單調(diào)性，通過(guò)討論a的取值情況，確定在區(qū)間上的最小值情況.