2022年高三數(shù)學摸底考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學摸底考試試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學思想方法的簡單應用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學生，有利于學生自我評價，有利于指導學生的學習，既重視雙基能力培養(yǎng)，側重學生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一.選擇題 【題文】1.已知集合，則 A. B. C. D. 【知識點】交集的運算.A1 【答案解析】C 解析：因為，所以，故選C. 【思路點撥】先化簡集合N，再進行判斷即

2、可. 【題文】2.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內所對應的點在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知識點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．L4 【答案解析】D 解析：∵∴復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點位于第四象限．故選：D． 【思路點撥】利用復數(shù)的代數(shù)運算將原式轉化，即可判斷它在復平面內的位置． 【題文】3.某校數(shù)學教研組為了解學生學習數(shù)學的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，則n等于 A、660 B、720 C、780 D、800

3、 【知識點】分層抽樣方法．I1 【答案解析】B 解析：：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，∴，解得n=720，故選：B． 【思路點撥】根據分層抽樣的定義，建立條件關系即可得到結論． 【題文】4.設，，，則下列關系中正確的是 A． B． C． D． 【知識點】對數(shù)函數(shù)的性質；比較大小.B7 【答案解析】A 解析：因為，同理可得： ，又因為是定義域內的增函數(shù)，且，所以 ，故選A。 【思路點撥】先把b,c轉化成以2為底的對數(shù)，再結合對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷. 【題文】5. 5.設是公差為正數(shù)

4、的等差數(shù)列，若，，則 A、75 B、90 C、105 D、120 【知識點】等差中項的性質.D2 【答案解析】C 解析：因為，可得：，所以,解得： 或（舍去，因為公差為正數(shù)），所以，則 ,故選C. 【思路點撥】結合已知條件先得到，再聯(lián)立組成方程組解出，進而求出公差，最后求出結果即可. 【題文】6. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學之和為偶數(shù)的概率是 A. B. C. D. 【知識點】古典概型.K2 【答案解析】B 解析：4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取

5、2張，共有12,13,14,23,24,34計6種情況，而取出的2張卡片上的數(shù)學之和為偶數(shù)的有13,24計2種情況，根據古典概型的計算公式可得概率為，故選B. 【思路點撥】先列舉4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張的所有情況，再列舉2張卡片上的數(shù)學之和為偶數(shù)的基本情況的種數(shù)，再求概率即可. 【題文】7. 已知實數(shù)滿足，則目標函數(shù)的最小值為 A．-5 B．-4 C．-3 D．-2 【知識點】簡單線性規(guī)劃．L4 【答案解析】C 解析：由約束條件作出可行域如圖， 化目標函數(shù)z=x+y為直線方程的斜截式，得y=-x+z，由圖

6、可知，當直線y=-x+z過可行域內的點B（-6，3）時，直線在y軸上的截距最小，即z最?。嗄繕撕瘮?shù)z=x+y的最小值為-6+3=-3．故選：C． 【思路點撥】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案． 【題文】8.閱讀程序框圖，運行相應程序，則輸出的值為 A．3 B．4 C．5 D．6 【知識點】程序框圖. L1 【答案解析】B 解析：該程序框圖是循環(huán)結構 經第一次循環(huán)得到i=1，a=2； 經第二次循環(huán)得到i=2，a=5； 經第三次循環(huán)得到i=3，a=16； 經第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判

7、斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4 故選B 【思路點撥】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結果得到輸出的值． 【題文】9.如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1 cm，粗實線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 A. 2 cm3 B. 4cm3 C. 6cm3 D.8cm3 知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】B 解析：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐， 其底面面積高h=2，故體積V= Sh= ×6×2=4cm3，故選：B 【思路點撥】由三視圖可知，兩個這樣的幾何體以俯視圖為底面的四棱錐，求出底面面積和高，代入棱錐體積公式

8、，可得答案． 【題文】10.函數(shù)在上的圖象大致為 A B C D 【知識點】函數(shù)的圖像. B9 【答案解析】D 解析：定義域關于原點對稱，因為，所以函數(shù)為定義域內的奇函數(shù)，故排除B,C, 令,則，排除A，故選C. 【思路點撥】先利用函數(shù)的奇偶性排除B,C，再利用函數(shù)的值排除A即可. 【題文】11.已知點在球O的球面上,,.球心O到平面的距離為1，則球O的表面積為 【知識點】球的體積和表面積．G8

9、 【答案解析】A 解析：由已知中AB=AC=2，∠BAC=90°，可得BC為平面ABC截球所得截面的直徑，即，∴r=，又∵球心到平面ABC的距離d=1， ∴球的半徑∴球的表面積S=4π?R2=12π，故選B． 【思路點撥】由已知中球面上有A、B、C三點，AB=AC=2，∠BAC=90°，我們可以求出平面ABC截球所得截面的直徑BC的長，進而求出截面圓的半徑r，根據已知中球心到平面ABC的距離，根據球的半徑，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案． 【題文】12. 拋物線的焦點為，是拋物線上的點，若三角形的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為36，則的值為 A．2

10、 B．4 C．6 D．8 【知識點】拋物線的簡單性質．H7 【答案解析】D 解析：：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑∵圓面積為36π，∴圓的半徑為6， 又∵圓心在OF的垂直平分線上，∴p=8，故選：D． 【思路點撥】根據△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值． 二．填空題 【題文】13. 函數(shù)的最小正周期為 【知識點】三角函數(shù)的周期.L4 【答案解析】 解析：原函數(shù)化簡為，由周期公式，故答案為. 【思路點撥】先化簡，再

11、計算周期即可. 【題文】14.已知，且，則的最小值 【知識點】基本不等式.L4 【答案解析】 解析：由基本不等式可知：，故答案為. 【思路點撥】直接利用基本不等式即可. 【題文】15.在邊長為2的等邊三角形中，是的中點，為線段上一動點，則的取值范圍為 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．F3 【答案解析】 解析：由題意可得和的夾角為60°，設||=x，x∈[0，2]， ∵=（-）?（-）=?-?-?+2 =2×1-2xcos60°-xcos60°+x2=x2-x+2=(x?)2+， 故當x=時，取得最小值為，當x=2時，取得最大值為3， 故答

12、案為 [，3]。 【思路點撥】由題意可得和的夾角為60°，設||=x，x∈[0，2]，根據的向量的之間的關系得到的表達式，借助于二次函數(shù)求出最值，即得它的取值范圍． 【題文】16．如果定義在R上的函數(shù)對任意兩個不等的實數(shù)都有 ，則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù)：， 。 以上函數(shù)為“函數(shù)”的序號為 【知識點】抽象函數(shù)及其應用．B9 【答案解析】②解析：∵對于任意給定的不等實數(shù)x1，x2，不等式恒成立， ∴不等式等價為（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．①函數(shù)在定義域上單調遞減．不滿足條件． ②，y′=3-2co

13、sx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2sin（x-）＞0，函數(shù)單調遞增，滿足條件． ③f（x）=，當x＞0時，函數(shù)單調遞增，當x＜0時，函數(shù)單調遞減，不滿足條件． ④，當x＞0時，函數(shù)單調遞增，當x＜0時，函數(shù)單調遞減，不滿足條件．故答案為：② 【思路點撥】不等式等價為（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性即可得到結論． 三．解答題 【題文】17. 已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前項和． 【【知識點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列求和.D3 D4 【答案

14、解析】（1）（2）見解析 解析：（1）設公比為q，由題意：q>1, ，則，，∵，∴，……………2分 則 解得： 或（舍去），……………4分 ∴……………5分 （2）……………7分 則 ……………10分 【思路點撥】（1）利用等比數(shù)列的通項公式計算即可；（2）利用分組求和即可. 【題文】18. 在三角形中，角、、的對邊分別為、、，且三角形的面積為. (1)求角的大小 (2)已知,求sinAsinC的值 【知識點】三角形面積公式；正余弦定理.C8 【答案解析】（1）（2） 解析：(1)在三角形ABC中,由已知可得0﹤﹤ -------------6分

15、(2) 由正弦定理可得 --------------12分 【思路點撥】（1）利用三角形的面積公式即可；（2）結合正余弦定理即可. 【題文】19. 為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關,現(xiàn)對30名六年級學生進行了問卷調查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖。 常喝 不常喝 合計 肥胖 2 不肥胖 18 合計 30 已知在全部30人中隨機抽取1人,抽到肥胖的學生的概率為。 （1）請將上面的列聯(lián)表補充完整 （2）是否有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關？說明你的理由 （3

16、）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學生中（2名女生），抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？ 參考數(shù)據： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式：，其中) 【知識點】獨立性檢驗的應用．I4 【答案解析】（1）見解析（2）有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關。（3） 解析：（1）設常喝碳酸飲料肥胖的學生有x人， 常喝 不常喝 合計 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22

17、 合計 10 20 30 ------------- 3分 （2）由已知數(shù)據可求得： 因此有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關。------------- 7分 （3）設常喝碳酸飲料的肥胖者男生為A、B、C、D，女生為E、F，則任取兩人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種。其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF。故抽出一男一女的概率是 ----12分 【思路點撥】（1）根據全部50人中隨機抽取1人看營養(yǎng)說明的學生的概率為，做出看營養(yǎng)說明的人數(shù)，這樣用總人數(shù)減去看

18、營養(yǎng)說明的人數(shù)，剩下的是不看的，根據所給的另外兩個數(shù)字，填上所有數(shù)字． （2）根據列聯(lián)表所給的數(shù)據，代入求觀測值的公式，把觀測值同臨界值進行比較，得到有99.5%的把握說看營養(yǎng)說明與性別有關．（3）利用列舉法，求出基本事件的個數(shù)，即可求出正好抽到一男一女的概率． 【題文】20.如圖,直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．為的中點 （1）求證： ∥平面A1PB （2）若，，AC=2 ，求三棱錐的體積． 【知識點】線面平行的判定；椎體的體積公式.G4 G7 【答案解析】（1）見解析（2） 解析：（1）證明：三棱柱 為直三棱柱 連接與交于點E, ∴E為中點 連接PE

19、 為的中點 ∴PE ∥ ∵PE ∴∥平面A1PB ---------------------4分 （2）在直三棱柱 中，，AC=2 ∴ 為的中點， 平面，其垂足落在直線上, . 在中，， ，, 在中， ---------------------12分 【思路點撥】（1）連接AB1與A1B交于點E，則PE∥B1C，由此能證明B1C∥平面A1PB． （2）由已知得AB⊥BC，AD⊥A1B．由VP?A1BC=VA1?BCP利用等體積法計算出三棱錐的體積． 【題文】21. 已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰

20、直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切。 （1）求橢圓的方程。 （2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為, ∴圓心到直線的距離…………* ∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1 ∴ 故所求橢圓方程為 ………4分 （2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,則 將直線方程代入橢圓方程得：…………6分 設， 則…………①…………8分

21、 由∴ 即：， …………10分 ==-4 ∴…………12分 【思路點撥】（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離，由此結合已知條件能求出橢圓方程．（2）設直線L方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得： ，由此利用韋達定理結合已知條件能證明λ1+λ2為定值. 【題文】22. 已知函數(shù)．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是y=2x+1, （1）求a,b的值。 （2）問：m在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？ 【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．B12 【答案解析】（1）b=-1（2） 解析：（1） 因為函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為2 所以，所以，則 代入切線可得b=-1 ------------- 6分 （2） ， 因為任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值， 又， 所以只需------------- 10分 解得． -------------12分 【思路點撥】（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=2x+1可知，f′（1）=2，f（1）=3，可解a、b的值；（2）轉化成g′（x）=0在（t，3）上有實數(shù)根，列出等價條件，求出m的取值范圍．