《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關系與公理學案 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關系與公理學案 北師大版（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第3節(jié)空間圖形的基本關系與公理最新考綱1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.知 識 梳 理1.空間圖形的公理與定理(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(即直線在平面內).(2)公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面).(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.(5)公理2的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，
2、有且只有一個平面.推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.(6)等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言aba相交關系圖形語言符號語言abAaAl獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a3.異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角.(2)范圍：.常用結論與微點提醒1.空間中兩個角的兩邊分別對應平行，
3、則兩個角相等或互補.2.異面直線的判定：經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線.3.唯一性的幾個結論：(1)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(2)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(3)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內的所有直線與a異面.()解析(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，
4、那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤.(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤.(4)由于a不平行于平面，且a，則a與平面相交，故平面內有與a相交的直線，故錯誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材習題改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A.30 B.45C.60 D.90解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C3.(2018南昌月考)是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m，n，且Am，A，則m，n
5、的位置關系不可能是()A.垂直 B.相交 C.異面 D.平行解析依題意，mA，n，m與n異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案D4.(一題多解)(2017全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析法一對于選項B，如圖(1)所示，連接CD，因為ABCD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項C，D中均有AB平面MNQ.因此A項不正確.圖(1)圖(2)法二對于選項A，其中O為BC的中點(如圖(2)所示)，連
6、接OQ，則OQAB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行.答案A5.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_.解析EF與正方體左、右兩側面均平行.所以與EF相交的側面有4個.答案4考點一空間圖形的公理及應用【例1】 (1)(2016山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點，從而，有公共點，可得出，
7、相交；反之，若，相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件.答案A(2)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.證明：四邊形BCHG是平行四邊形；C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形.解BE綊AF，G為FA的中點，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面.又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點共面.規(guī)律方法1.證明線共面或點共面
8、的常用方法(1)直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面.(2)納入平面法，先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內.(3)輔助平面法，先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合.2.證明點共線問題的常用方法(1)公理法，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上.(2)納入直線法，選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.【訓練1】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.證明(1)如圖，連接EF，CD
9、1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFA1B.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設交點為P，如圖所示.則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點.考點二判斷空間兩直線的位置關系【例2】 (1)若m，n為兩條不重合的直線，為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是()若直線m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線；若直線m，n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線；已知平面，互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若m，
10、則n；若直線m，n在平面內的射影互相垂直，則mn.A. B. C. D.(2)(2018唐山一中月考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號).解析(1)對于，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，錯誤；對于，由線面垂直的性質定理可知，m與n一定平行，故正確；對于，還有可能n或n與相交，錯誤；對于，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面，則m與n在內的射影分別為AB與BC，且ABBC.而m與n所成的角為60，故錯誤.(2)圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GH
11、N，NGH，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH與MN異面.所以在圖中，GH與MN異面.答案(1)A(2)規(guī)律方法1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線.2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系.【訓練2】 (1)(2018漢中一
12、模)下列命題正確的是()A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B.若一直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，則EF與BD1的位置關系是()A.相交但不垂直 B.異面C.相交且垂直 D.平行解析(1)A選項，兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交；B選項，一直線可以與兩垂直平面所成的角都是45；易知C正確；D中的兩平面也可能相交.(2)連接D1E并延長，與AD交于
13、點M，因為A1E2ED，可得M為AD的中點，連接BF并延長，交AD于點N，因為CF2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，且，所以，所以EFBD1.答案(1)C(2)D考點三異面直線所成的角【例3】 (2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.解析將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos
14、 603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .答案C規(guī)律方法1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移.2.求異面直線所成角的三個步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角.(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角.(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.【訓練3】 (2018佛山模擬)如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點，AA1AB
15、1，則異面直線AB1與BD所成的角為_.解析取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE，易知BDB1E.在RtAB1E中，AB1E為異面直線AB1與BD所成的角.設AB1，則A1A，AB1，B1E，所以cosAB1E，因此AB1E，故異面直線AB1與BD所成的角為.答案基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面；有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是()A. B. C. D.解析顯然命題正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，錯.命題中，兩個平面重合或相交，錯.三條直線兩兩相交，可確定1個或3個
16、平面，則命題正確.答案B2.(2018九江二模)在如圖所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點，則直線BF與平面AD1E的位置關系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.異面解析如圖，取AD1的中點O，連接OE，OF，則OF平行且等于BE，四邊形BFOE是平行四邊形，BFOE，BF平面AD1E，OE平面AD1E，BF平面AD1E.答案A3.(2018煙臺質檢)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若ab，則a，b與c所成的角相等D.若ab
17、，bc，則ac解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.答案C4.(2018臨汾調研)已知平面及直線a，b，則下列說法正確的是()A.若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線平行B.若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線不可能垂直C.若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面平行D.若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面不可能都垂直解析對于A，若直線a，b與平面所成角都是30，則這兩條直線平行、相交、異面，故A錯誤.對于B，若直線a，
18、b與平面所成角都是30，則這兩條直線可能垂直.如圖，直角三角形ACB的直角頂點C在平面內，邊AC，BC可以與平面都成30角，故B錯誤.C顯然錯誤；對于D，假設直線a，b與平面都垂直，則直線a，b平行，與已知矛盾，則假設不成立，D正確.答案D5.如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1，由AB1，AA12，則A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.答案D二、填空題
19、6.(2018邯鄲調研)在三棱錐SABC中，G1，G2分別是SAB和SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是_.解析如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.由題意知SM為SAB的中線，且SG1SM，SN為SAC的中線，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位線，MNBC，因此可得G1G2BC.答案G1G2BC7.(2018重慶模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_.解析如圖，將原圖補成正方體ABCDQGHP，連接GP，則GPBD，所以APG為異面直線AP與BD所成的
20、角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案8.(2018西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是_.解析還原成正四面體ADEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合.易知GH與EF異面，BD與MN異面.又GMH為等邊三角形，GH與MN成60角，易證DEAF，MNAF，MNDE.因此正確的序號是.答案三、解答題9.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證：D
21、1，H，O三點共線.證明如圖，連接BD，B1D1，則BDACO，BB1綊DD1，四邊形BB1D1D為平行四邊形.又HB1D，B1D平面BB1D1D，則H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.故D1，H，O三點共線.10.(2017昆明月考)如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.解(1)SABC222，三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE是異面直線BC與AD所成的角(或
22、其補角).在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B. C. D.解析如圖所示，設平面CB1D1平面ABCDm1，因為平面CB1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m.因為平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.故m，n
23、所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.答案A12.正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結論中正確的是_(填序號).ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.解析因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VEABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤.答案13.如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點.(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S4，所以四棱錐OABCD的體積V42.(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，MEOC，則EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM為直角三角形，tanEMD.異面直線OC與MD所成角的正切值為.14
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