2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化 第2講 函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想學(xué)案 理

《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化 第2講 函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化 第2講 函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想學(xué)案 理（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)思想解讀　1.函數(shù)與方程思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)，描述兩個(gè)量之間的依賴關(guān)系，刻畫數(shù)量之間的本質(zhì)特征，在提出數(shù)學(xué)問題時(shí)，拋開一些非數(shù)學(xué)特征，抽象出數(shù)量特征，建立明確的函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)和方法解決問題.有時(shí)需要根據(jù)已知量和未知量之間的制約關(guān)系，列出方程(組)，進(jìn)而通過解方程(組)求得未知量.函數(shù)與方程思想是相互聯(lián)系、相互為用的.2.數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問

2、題的本質(zhì)；(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確. 熱點(diǎn)一　函數(shù)與方程思想 應(yīng)用1　求解不等式、函數(shù)零點(diǎn)的問題 【例1】 (1)設(shè)00，

3、 則f′(x)＝ex－1>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(0)＝0，f(x)>0， ∴ex－1>x，即ea－1>a. 又y＝ax(0ae， 從而ea－1>a>ae. (2)令h(x)＝g(x)，得xln x＋1＝kx，即＋ln x＝k. 令函數(shù)f(x)＝ln x＋，若方程xln x－kx＋1＝0在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)f(x)＝ln x＋與y＝k在區(qū)間上有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，當(dāng)x∈時(shí)f′(x)<0，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的極小值，也是最小值為f(1

4、)＝1，而f ＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e>1＋，所以，函數(shù)的最大值為e－1.所以關(guān)于x的方程xln x－kx＋1＝0在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 答案　(1)B　(2)B 探究提高　1.第(1)題構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)求解. 2.函數(shù)方程思想求解方程的根或圖象交點(diǎn)問題 (1)應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題. (2)含參數(shù)的方程問題一般通過直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝－cos x，則方程f(x)＝所有實(shí)根的

5、和為(　　) A.0 B. C. D. (2)(2018·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝log2(1－x)，若f(a2－1)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－，0)∪(0，) B.(－，) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，1) 解析　(1)由f(x)＝－cos x＝，得－＝cos x， 令y＝－，y＝cos x. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，易知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn). ∴方程f(x)＝的實(shí)根之和為. (2)依題意，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(x)在R上是偶函數(shù). ∴f(x)在(0，＋

6、∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝f(－1)＝1. 由f(a2－1)<1，得|a2－1|<1，解得－

7、d＝2或d＝－1(舍去)， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n. (2)∵Sn＝n(n＋1)，則＝＝－. ∴bn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－＝＝. 令f(x)＝2x＋(x≥1)，則f′(x)＝2－>0恒成立， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝3， 即當(dāng)n＝1時(shí)，(bn)max＝. 要使對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式bn≤k恒成立， 則須使k≥(bn)max＝，∴實(shí)數(shù)k的最小值為. 探究提高　1.本題完美體現(xiàn)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，第(2)問利用裂項(xiàng)相消求bn，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求bn的最大值. 2.數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或

8、其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式即為相應(yīng)的解析式，因此解決數(shù)列最值(范圍)問題的方法如下：(1)由其表達(dá)式判斷單調(diào)性，求出最值；(2)由表達(dá)式不易判斷單調(diào)性時(shí)，借助an＋1－an的正負(fù)判斷其單調(diào)性. 【訓(xùn)練2】 (2018·東北三省四校二模)已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，等比數(shù)列{bn}的公比q＝2，若1是a1，b1的等比中項(xiàng)，設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a·b＝5. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝2anlog2bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)依題設(shè)，a1b1＝1，且a·b＝5. ∴即 解之得 數(shù)列

9、{an}的公差為d＝1，{bn}的公比q＝2， 所以an＝n，bn＝2n－1(n∈N*). (2)cn＝2anlog2bn＝2n·log22n－1＝(n－1)2n(n∈N)， Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n， 2Tn＝23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)2n＋1， 兩式相減得， －Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)2n＋1， ＝－(n－1)2n＋1＝－4＋(2－n)2n＋1， Tn＝(n－2)2n＋1＋4(n∈N*). 應(yīng)用3　函數(shù)與方程思想在幾何問題中的應(yīng)用 【例3】 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2，0)，B(0，1)

10、是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y＝kx(k＞0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn). (1)若＝6，求k的值； (2)求四邊形AEBF面積的最大值. 解　(1)依題意得橢圓的方程為＋y2＝1，直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k＞0). 如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4， 故x2＝－x1＝.① 由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)， 得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝； 由D在AB上知x0＋2kx0＝2， 得x0＝.所以＝， 化簡(jiǎn)得24k2－25k＋6＝0，解得k

11、＝或k＝. (2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為 h1＝＝， h2＝＝. 又|AB|＝＝， 所以四邊形AEBF的面積為 S＝|AB|(h1＋h2) ＝··＝ ＝2＝2≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)4k2＝1(k＞0)，即當(dāng)k＝時(shí)，上式取等號(hào). 所以S的最大值為2. 即四邊形AEBF面積的最大值為2. 探究提高　幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的求法來求解，這是求面積、線段長(zhǎng)最值(范圍)問題的基本方法.

12、【訓(xùn)練3】 (1)(2018·長(zhǎng)沙一中質(zhì)檢)某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(　　) A. B. C. D. (2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2，0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為________. 解析　(1)如圖所示，原工件是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體，且落在圓錐底面上的面是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體的高為h，則0

13、－a. 令f(a)＝V長(zhǎng)方體＝a2h＝2a2－a3， ∴f′(a)＝4a－3a2， 令f′(a)＝0，解得a＝，易知f(a)max＝f＝. ∴材料利用率＝＝. (2)由c＝2得a2＋1＝4， 所以a2＝3. 所以雙曲線方程為－y2＝1. 設(shè)點(diǎn)P(x，y)(x≥)， ·＝(x，y)·(x＋2，y) ＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥). 令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)， 則g(x)在[，＋∞)上單調(diào)遞增. g(x)min＝g()＝3＋2. 所以·的取值范圍為[3＋2，＋∞). 答案　(1)A　(2)[3＋2，＋∞) 熱點(diǎn)二　數(shù)形結(jié)合思想

14、 應(yīng)用1　在函數(shù)與方程中的應(yīng)用 【例4】 (1)記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}，則定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值為(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 (2)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________. 解析　(1)在同一坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的圖象如圖：由圖可知，在實(shí)數(shù)集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}為y＝x＋3上A點(diǎn)下方的射線，拋物線AB之間的部

15、分，線段BC，與直線y＝13－x點(diǎn)C下方的部分的組合圖.顯然，在區(qū)間[0，＋∞)上，在C點(diǎn)時(shí)，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值. 解方程組得點(diǎn)C(5，8).所以f(x)max＝8. (2)作出f(x)的圖象如圖所示.當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2. ∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3. 答案　(1)C　(2)(3，＋∞) 探究提高　1.第(1)題利用函數(shù)的圖象求最值，避免分段函數(shù)的討論；第(2)題把函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用幾何直觀求解. 2.探究方程

16、解的問題應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題. (2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合. 【訓(xùn)練4】 若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝x，若在區(qū)間[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. 解析　∵x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝x. ∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，－1

17、上的圖象，如圖所示.因?yàn)間(x)＝f(x)－mx＋m有兩個(gè)零點(diǎn).∴y＝f(x)的圖象與直線y＝m(x－1)在區(qū)間[－1，1)上有兩個(gè)交點(diǎn)， 又kAB＝＝，由幾何直觀知0

18、x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示. 則有A(0，0)，B，C(0，t)， 由＝＋可知P(1，4)， 那么＝，＝(－1，t－4)， 故·＝·(－1，t－4)＝－－4t＋17 ≤－2＋17＝13. 當(dāng)且僅當(dāng)＝4t，即t＝時(shí)等號(hào)成立. (2)將目標(biāo)函數(shù)變形為y＝2x－z，當(dāng)z取最大值時(shí)，直線y＝2x－z在y軸上的截距最小，故當(dāng)m≤時(shí)，不滿足題意. 當(dāng)m>時(shí)，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界). y＝2x－z過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z＝2x－y取得最大值. 易求點(diǎn)B， ∴最大值為z＝2×－＝2，解得m＝1. 答案　(1)A

19、　(2)C 探究提高　1.平面向量中數(shù)形結(jié)合關(guān)注點(diǎn)：(1)能建系的優(yōu)先根據(jù)目標(biāo)條件建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)重視坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及有關(guān)幾何意義求解. 2.求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問題. 【訓(xùn)練5】 (1)當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，(x－1)2

20、1)由題意，易知a>1. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象. 若y＝logax過點(diǎn)(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2. 根據(jù)題意，函數(shù)y＝logax，x∈(1，2)的圖象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 結(jié)合圖象，a的取值范圍是(1，2]. (2)因?yàn)?a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如圖所示，設(shè)＝c，＝a，＝b，＝a－c，＝b－c，即⊥. 又因?yàn)椤?，所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓.當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，且最大值為. 答案　(1)(1，2]　(2)C 應(yīng)用3　圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想

21、【例6】 已知拋物線的方程為x2＝8y，點(diǎn)F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2，4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使△APF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析　因?yàn)?－2)2<8×4，所以點(diǎn)A(－2，4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ.則△APF的周長(zhǎng)為|PF|＋|PA| ＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時(shí)，△APF的周長(zhǎng)取得最小值，即|AB|＋|AF|. 因?yàn)锳(－2，4)，所以不妨設(shè)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代

22、入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案　 探究提高　1.對(duì)于幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問題，應(yīng)分析各個(gè)變量的變化過程，找出其中的相互關(guān)系求解. 2.應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離. 【訓(xùn)練6】 (2018·江南名校聯(lián)考)設(shè)A，B在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且|AB|＝，點(diǎn)P在直線l：3x＋4y－12＝0上運(yùn)動(dòng)，則|＋|的最小值為(　　) A.3 B.4 C. D. 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則＋＝2， ∴當(dāng)且僅當(dāng)O，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，|＋|取得最小值， 此時(shí)OP⊥AB，且OP⊥l. ∵圓心到直線l的距離為＝，|OD|＝＝，∴|＋|的最小值為2×＝. 答案　D 11