2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.2.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教A版必修1

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1、第2課時(shí)　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用 [小試身手] 1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝　　B．y＝|x| C．y＝2x D．y＝x3 解析：y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以排除A；y＝|x|是偶函數(shù)，所以排除B；y＝2x為非奇非偶函數(shù)，所以排除C.選D. 答案：D 2．下列判斷正確的是(　　) A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53 C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5 解析：因?yàn)閥＝0.9x是減函數(shù)，且0.5＞0.2， 所以0.90.2＞0.90.5. 答案：D 3．已知y1＝x，y2＝3x，y

2、3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象為(　　) 解析：方法一　y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增；y1＝x與y3＝10－x＝x單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)作直線x＝1，該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各底數(shù)，易知選A. 方法二　y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增，且y4＝10x的圖象上升得快，y1＝x與y2＝3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y3＝10－x與y4＝10x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以選A. 答案：A 4．函數(shù)y＝2的值域?yàn)開(kāi)_______． 解析：令u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝2u≥2－1＝， 所以y＝2的值域?yàn)? 答案：

3、類型一　利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小 例1　(1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　　B．c＜b＜a　　　C．a(chǎn)＜c＜b　　　D．c＜a＜b (2)已知a＝，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)＞f(n)，則m，n的關(guān)系為(　　) A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＞n D．m＜n 【解析】　(1)a＝0.771.2,0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，則a＜c＜b. (2)因?yàn)?＜＜1，所以f(x)＝ax＝x在R上單調(diào)遞減， 又因?yàn)閒(m)＞f(n)，所以m＜n，故選D.

4、【答案】　(1)C　(2)D 要比較大小，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性入手．也可找中間量來(lái)比較． 方法歸納 比較冪值大小的三種類型及處理方法 跟蹤訓(xùn)練1　比較下列各題中兩個(gè)值的大?。? (1)－1.8與－2.5； (2)－0.5與－0.5； (3)0.20.3與0.30.2. 解析：(1)因?yàn)?<<1，所以函數(shù)y＝x在其定義域R上單調(diào)遞減，又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5. (2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出指數(shù)函數(shù)y＝x與y＝x的圖象，如圖所示．當(dāng)x＝－0.5時(shí)，由圖象觀察可得－0.5>－0.5. (3)因?yàn)?<0.2<0.3<1，所以指數(shù)函數(shù)y

5、＝0.2x與y＝0.3x在定義域R上均是減函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)y＝0.2x的圖象在函數(shù)y＝0.3x的圖象的下方，所以0.20.2<0.30.2. 又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.2x的性質(zhì)可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. 底數(shù)相同，指數(shù)不同； 底數(shù)不同，指數(shù)相同； 底數(shù)不同，指數(shù)不同． 類型二　解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式 例2　(1)不等式3x－2＞1的解為_(kāi)_______； (2)若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍． 【解析】　(1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解為(2，＋∞)． (2)因?yàn)閍

6、x＋1＞5－3x，所以當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍為(－∞，3)， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍為(3，＋∞)． 【答案】　(1)(2，＋∞)　(2)見(jiàn)解析 首先確定指數(shù)不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性確定x的取值范圍． 方法歸納 解指數(shù)不等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)形如ax>ab的不等式，借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0b的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)

7、的指數(shù)冪的形式，再借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)解不等式≤3； (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范圍． 解析：(1) ＝(3－1) ＝3， ∴原不等式等價(jià)于 3≤31. ∵y＝3x是R上的增函數(shù)，∴2－x2≤1. ∴x2≥1，即x≥1或x≤－1. ∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1， ∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函數(shù)． ∴x>1－x，解得x>. ∴x的取值范圍是. (1)化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性． (2)判斷a2＋2a＋3的范圍．,

8、 類型三　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定義證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)； (2)若f(x)為奇函數(shù)，求f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值． 【解析】　(1)證明：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，任取x10. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

9、＝. 所以f(x)＝－， 由(1)知，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為f(1)． 因?yàn)閒(1)＝－＝， 所以f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為. (1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步： ①取值；②作差變形； ③定號(hào)；④結(jié)論 . (2)先由f(x)為奇函數(shù)求a，再由單調(diào)性求最小值． 方法歸納 (1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題，可利用奇、偶函數(shù)的定義，根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)建立方程求參數(shù)； (2)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則可利用f(0)＝0，建立方程求參數(shù)．

10、 跟蹤訓(xùn)練3　已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x＋，a為常數(shù)，若f(x)為偶函數(shù)， (1)求a的值； (2)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明； (3)求函數(shù)f(x)的值域． 解析：(1)由f(x)為偶函數(shù)得對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)， 所以1－a＝0， 所以a＝1. (2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 證明如下：任取x2，x2∈(0，＋∞)且x1

11、x1，x2∈(0，＋∞)， 所以2<2，2 >1， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

12、.4<π0　　 B．0.43<π0<30.4 C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43 解析：因?yàn)棣?＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以0.43<π0<30.4，故選B. 答案：B 2．設(shè)f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù) C．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù) 解析：因?yàn)閒(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)， 所以f(x)為偶函數(shù)． 又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 故選D.

13、 答案：D 3．已知1＞n＞m＞0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象是(　　) 解析：由1＞n＞m＞0可知兩曲線應(yīng)為“下降”的曲線，故排除A，B，再由n＞m可知應(yīng)選C. 答案：C 4．若2a＋1＜3－2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B. C．(－∞，1) D. 解析：函數(shù)y＝x在R上為減函數(shù)，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞. 答案：B 5．設(shè)x＞0，且1＜bx＜ax，則(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1. ∵bx＜ax，∴x

14、＞1，又x＞0，∴＞1， ∴a＞b，即1＜b＜a. 答案：C 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．三個(gè)數(shù)，，中，最大的是________，最小的是________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x在R上是減函數(shù)， 所以>， 又在y軸右側(cè)函數(shù)y＝x的圖象始終在函數(shù)y＝x的圖象的下方， 所以>.即>>. 答案：　 7．函數(shù)y＝的單調(diào)增區(qū)間是________． 解析：令t＝x2－4x＋3，則其對(duì)稱軸為x＝2. 當(dāng)x≤2時(shí)，t隨x增大而減小， 則y增大，即y＝的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 8．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，

15、則a的取值范圍是________． 解析：f(x)＝a－x＝x， ∵f(－2)>f(－3)， ∴－2>－3，即a2>a3. ∴a<1，即00，且a≠1)． 解析：(1)由于1.8>1，所以指數(shù)函數(shù)y＝1.8x，在R上為增函數(shù)．所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因?yàn)?.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝a

16、x是增函數(shù)，此時(shí)a1.3a2.5. 故當(dāng)0a2.5，當(dāng)a>1時(shí)，a1.32－a－x(a∈R)的解集為B，求使A∩B＝B的實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：由≥0，解得x≤－2或x>1， 于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)， 2x>2－a－x?2x>a＋x?2x

17、數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0,2)內(nèi)的值域是(1，a2)，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是(　　) 解析：對(duì)于函數(shù)f(x)＝ax，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝a0＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝a2. 由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則有a2＞1，即a＞1. 所以函數(shù)f(x)的圖象是上升的，且在x軸上方，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確． 答案：B 12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－2－x，則不等式f(x)<－的解集是________． 解析：設(shè)x<0，－x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1，當(dāng)x>0時(shí)，1－2－x∈

18、(0,1)，所以不等式f(x)<－，即當(dāng)x<0時(shí)，2x－1<－，解得x<－1. 答案：(－∞，－1) 13．函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解析：分情況討論： ①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2， ∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)； ②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a， ∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)． 綜上所述，a＝或a＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(x)的圖象如圖所示， (1)求a，b的值； (2)解不等式f(x)≥2. 解析：(1)由圖象得，點(diǎn)(1,0)，(0，－1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以 解得 ∴f(x)＝2x－2. (2)f(x)＝2x－2≥2， ∴2x≥4，∴x≥2. ∴不等式的解集為[2，＋∞)． - 11 -