2018年秋高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì)案例階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修1-2

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1、 第一課　統(tǒng)計(jì)案例 [核心速填] 1．線性回歸方程 對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝＝，＝－，其中(，)稱(chēng)為樣本點(diǎn)的 中心． 2．線性回歸模型為y＝bx＋a＋e，其中e為隨機(jī)誤差． 3．殘差i＝y(tǒng)i－i. 4．刻畫(huà)回歸效果的方法 (1)殘差平方和法 殘差平方和(yi－)2越小，模型擬合效果越好． (2)殘差圖法 殘差圖形成的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合效果越好． (3)相關(guān)指數(shù)R2法 R2越接近1，模型擬合效果越好． 5．K2公式 K2＝，其中n＝a＋b＋

2、c＋d. [題型探究] 線性回歸分析 　某城市理論預(yù)測(cè)2014年到2018年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示： 年份201x(年) 0 1 2 3 4 人口數(shù)y(十萬(wàn)) 5 7 8 11 19 (1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)據(jù)此估計(jì)2022年該市人口總數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662025】 [解]　(1)散點(diǎn)圖如圖： (2)因?yàn)椋剑?， ＝＝10， 0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132， 02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以＝＝3.2， ＝－＝3.6

3、. 所以線性回歸方程為＝3.2x＋3.6. (3)令x＝8，則＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估計(jì)2020年該城市人口總數(shù)為29.2(十萬(wàn))． [規(guī)律方法]　解決回歸分析問(wèn)題的一般步驟 (1)畫(huà)散點(diǎn)圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖. (2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫(xiě)出回歸方程. (3)回歸分析.畫(huà)殘差圖或計(jì)算R2，進(jìn)行殘差分析. (4)實(shí)際應(yīng)用.依據(jù)求得的回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題. [跟蹤訓(xùn)練] 1．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為： x(元) 14

4、 16 18 20 22 y(件) 12 10 7 5 3 且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞． [解]　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以＝＝＝－1.15， 所以＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以y對(duì)x的線性回歸方程為＝－1.15x＋28.1， 列出殘差表為 yi－i 0

5、 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以(yi－i)2＝0.3， (yi－)2＝53.2， R2＝1－≈0.994. 所以R2≈0.994，擬合效果較好. 獨(dú)立性檢驗(yàn) 　戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，決定從本單位全體650人中采用分層抽樣的辦法抽取50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 不喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男性 5 女性 10 總計(jì) 50 已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是

6、. (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； (2)求該公司男、女員工各多少人； (3)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下能否認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由． 下面的臨界值表僅供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式：K2＝，其中 n＝a＋b＋c＋d) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662026】 [解]　(1)因?yàn)樵谌?0人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是， 所以喜歡戶

7、外運(yùn)動(dòng)的男女員工共30人，其中男員工20人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 不喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男性 20 5 25 女性 10 15 25 總計(jì) 30 20 50 (2)該公司男員工人數(shù)為25÷50×650＝325(人)，則女員工有325人． (3)K2的觀測(cè)值k＝≈8.333>7.879，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)． [規(guī)律方法]　獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的求解策略 (1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫(huà)出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來(lái)粗略地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性. (2)K2統(tǒng)計(jì)量法：通過(guò)公式 先計(jì)算觀測(cè)值k，再與

8、臨界值表作比較，最后得出結(jié)論. [跟蹤訓(xùn)練] 2．研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)．發(fā)現(xiàn)有60名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名，否定的有88名．問(wèn)：性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系？分別用條形圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷． [解]　建立性別與態(tài)度的2×2列聯(lián)表如下： 肯定 否定 總計(jì) 男生 22 88 110 女生 22 38 60 總計(jì) 44 126 170 根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，可求出男生中作肯定態(tài)度的頻率為＝0.2，女生中作肯定態(tài)度

9、的頻率為≈0.37.作等高條形圖如圖，其中兩個(gè)深色條形的高分別表示男生和女生中作肯定態(tài)度的頻率，比較圖中深色條形的高可以發(fā)現(xiàn)，女生中作肯定態(tài)度的頻率明顯高于男生中作肯定態(tài)度的頻率，因此可以認(rèn)為性別與態(tài)度有關(guān)系． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值 k＝≈5.622>5.024. 因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為性別和態(tài)度有關(guān)系． 轉(zhuǎn)化與化歸思想 　某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2

10、.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 檢驗(yàn)每?jī)?cè)書(shū)的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如有，求出y對(duì)x的回歸方程． 思路探究：令z＝，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為z與y的關(guān)系，然后用回歸分析的方法，求z與y的回歸方程，進(jìn)而得出x與y的回歸方程． [解]　把置換為z，則有z＝， 從而z與y的數(shù)據(jù)為 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 可作出散點(diǎn)圖(圖

11、略)，從圖可看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合． ＝×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1， ＝×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14， ＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052≈1.415， iyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15 ＝15.221 02， 所以＝≈8.976， ＝－＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120， 所以所求的z與y的回歸方程為＝8.976z＋1.120. 又因

12、為z＝，所以＝＋1.120. [規(guī)律方法]　非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題求解步驟. (1)確定變量，作出散點(diǎn)圖. (2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù). (3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程. (4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫(huà)殘差圖來(lái)判斷擬合效果. (5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫(xiě)出非線性回歸方程. [跟蹤訓(xùn)練] 3．在某化學(xué)試驗(yàn)中，測(cè)得如下表所示的6對(duì)數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量． x/min 1 2 3 4 5 6 y/mg 39.8 32.2

13、 25.4 20.3 16.2 13.3 (1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)c和d的值(精確到0.001)； (2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到0.1). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662027】 [解]　(1)在y＝cdx兩邊取自然對(duì)數(shù)，令ln y＝z，ln c＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得≈3.905 5，≈－0.221 9，則線性回歸方程為＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，lnD＝－0.221 9， 故c≈49.675，d≈0.801， 所以c，d的估計(jì)值分別為49.675和0.801. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)． 所以，化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為5.4 mg. 7