2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法 一 比較法學案 新人教A版選修4-5

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1、一比較法1.理解和掌握比較法證明不等式的理論依據(jù)2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟3通過學習比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用比較法的定義比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種(1)作差比較法：要證明ab，只要證明ab0；要證明ab，只要證明ab0，b0，要證明ab，只要證明1；要證明ba，只要證明1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在證明條件不等式時，要注意所給條件的應(yīng)用()(2)作差比較法是與1比較，作商比較法是與0比較()(3)因式分解、配方、放縮(基本不等式，有界性)，湊成若干個平方和等是作差比較的常用變形方法()(

2、4)分子放(縮)，分母不變；分子不變，分母放(縮)；分子放(縮)，同時分母縮(放)，是作商比較時常用的方法()答案：(1)(2)(3)(4)2設(shè)ab，則a23b2和2b(ab)的大小關(guān)系是()Aa23b22b(ab)Ba23b22b(ab)Ca23b20，所以a23b22b(ab)3設(shè)aR，a1，則與1的大小關(guān)系是()A1 B1C1 D1答案：B作差比較法學生用書P25已知ba0，求證：.【證明】.因為a0，b0，a2b20，ab0，又因為ba0，所以0.所以0.即bc，求證bc2ca2ab2bc，所以ba0，ca0，cb0，所以(ba)(ca)(cb)0，所以bc2ca2ab20，b0，求證

3、：aabb(ab).【證明】因為aabb0，(ab)0，所以ab.當ab時，顯然有1；當ab0時，1，0，所以由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，有1；當ba0時，01，1.綜上可知，對任意實數(shù)a，b，都有aabb(ab).作商比較法證明不等式的一般步驟(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商(2)變形：化簡商式到最簡形式 (3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.(4)得出結(jié)論已知a0，b0，c0，a2b2c2.求證：當n3時，anbncn.證明：因為a2b2c2，所以可設(shè)accos ，bcsin (0)所以anbncncosncnsinncn(cosnsinn)，所以cosns

4、inn .又因為0cos 1，0sin 1，所以當n3時，cosncos2，sinnsin2，所以cosnsinncos2sin21，所以1，所以anbnnBmnCmn Dmn解析：選D.因為nmab21(a2b)b22b1(b1)20.故mn.2已知0a，且M，N，則M，N的大小關(guān)系是()AMNCMN D不確定解析：選B.MN()()，因為0a0，1b0，ab0，所以MN0，故MN.3已知a1a2，b1b2，則a1b1a2b2與a1b2a2b1的大小關(guān)系是_解析：因為(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)0.所以a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2a2b14已知a，b均為實數(shù)，用比較法證明：(當且僅當ab時等號成立)證明：0，當且僅當ab時等號成立，所以(當且僅當ab時等號成立)6