2018年高中數(shù)學(xué) 四大高頻考點例析學(xué)案 蘇教版選修1-2

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1、 四大高頻考點例析 考查方式 　　歸納推理、類比推理、演繹推理等問題是高考的熱點，歸納、類比推理大多數(shù)出現(xiàn)在填空題中，為中低檔題，突出了“小而巧”，主要考查類比、歸納推理能力；演繹推理大多數(shù)出現(xiàn)在解答題中，為中高檔題目，在知識的交匯點處命題，考查學(xué)生分析問題、解決問題以及邏輯推理能力． 備考指要 　　對本部分知識的學(xué)習，要注意做好以下兩點：一要熟悉歸納推理、類比推理、演繹推理的一般原理、步驟、格式，搞清合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別；二要把握歸納推理、類比推理、演繹推理的基本應(yīng)用，在給定的條件下，能夠運用歸納推理、類比推理獲得新的一般結(jié)論，能夠運用演繹推理對數(shù)學(xué)問題進行嚴格的證明

2、. [例1]　(陜西高考)觀察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此規(guī)律，第n個等式可為____________________________________． [解析]　觀察規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. [答案]　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 [例2]　(全國甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后

3、說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． [解析]　法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法． 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二：因為甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所

4、以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案]　1和3 1．觀察下列等式： 13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________________________________________________________________________． 解析：由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下： 1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10， 即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)．故第五個等式為： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝

5、212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 2．先閱讀下面的文字：“求 的值時，采用了如下的方法：令 ＝x，則有x＝，兩邊同時平方，得1＋x＝x2，解得x＝(負值已舍去)”．可以用類比的方法，求得1＋的值為________． 解析：由1＋＝1＋， 得2x2－2x－1＝0， 于是x＝(負值已舍去)，故所求值為. 答案： 3．下面的數(shù)組均由三個數(shù)組成：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)． (1)請寫出cn的一個表達式，cn＝______________________________；

6、 (2)若數(shù)列{cn}的前n項和為Mn，則M10＝________．(用數(shù)字作答) 解析：(1)通過觀察歸納，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n. (2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案：n＋2n　2 101 考查方式 　　從近幾年高考試題看，對本部分內(nèi)容的考查是應(yīng)用直接證明和間接證明解決數(shù)列，立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等問題，題型大多為解答題，難度為中高檔． 備考指要 　　在備考中，對本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三

7、種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強訓(xùn)練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的. [例3]　(北京高考)設(shè)數(shù)列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有aka1，則G(A)≠?； (3)證明：若數(shù)列A滿足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，則G(A)的元素個數(shù)不小于aN－a1. [解]　(1)G(A)的元素為2和5. (2)證明：因為存在

8、an使得an>a1， 所以{i∈N*|2≤i≤N，ai>a1}≠?. 記m＝min{i∈N*|2≤i≤N，ai>a1}， 則m≥2，且對任意正整數(shù)ka1. 由(2)知G(A)≠?. 設(shè)G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1ani}． 如果Gi≠?，取mi＝min Gi，則對任何1≤k

9、∈G(A)且mi＝ni＋1， 又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝?. 從而對任意np≤k≤N，ak≤anp，特別地，aN≤anp. 對i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1≤ani. 因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1. 所以aN－a1≤anp－a1＝(ani－ani－1)≤p. 因此G(A)的元素個數(shù)p不小于aN－a1. 4．(北京高考)給定數(shù)列a1，a2，…，an，對i＝1，2，3，…，n－1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n－i項ai＋1，ai＋2，…，an的最小值記為Bi，di＝Ai－Bi. (1)設(shè)數(shù)列{an

10、}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值； (2)設(shè)a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0，證明：d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列； (3)設(shè)d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0，證明a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列． 解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6. (2)證明：因為a1>0，公比q>1， 所以a1，a2，…，an是遞增數(shù)列． 因此，對i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1. 于是對i＝1，2，…，n－1， di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1. 因此di≠0且＝q(i＝1，2，

11、…，n－2)， 即d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列． (3)證明：設(shè)d為d1，d2，…，dn－1的公差． 對1≤i≤n－2，因為Bi≤Bi＋1，d>0， 所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai. 又因為Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}， 所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai. 從而a1，a2，…，an－1是遞增數(shù)列． 因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)． 又因為B1＝A1－d1＝a1－d1

12、 因此對i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d， 即a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列． 5．如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點．如圖2，將△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，連結(jié)BC，BD. (1)求證：AE⊥BD； (2)判斷DE能否垂直于平面ABC.并說明理由． 解：(1)證明：取AE中點M，連結(jié)BM，DM. ∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點， ∴△ABE與△ADE都是等邊三角形， ∴BM⊥AE，DM⊥AE， ∵BM∩DM＝M，

13、BM、DM?平面BDM， ∴AE⊥平面BDM. ∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD. (2)DE與平面ABC不垂直． 證明：假設(shè)DE⊥平面ABC， 則DE⊥AB. ∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE. ∵AB∩BM＝B，AB、BM?平面ABE， ∴DE⊥平面ABE. ∴DE⊥AE，這與∠AED＝60°矛盾， ∴DE與平面ABC不垂直. 考查方式 復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運算是高考的熱點，并且一般在前三題的位置上，主要考查對復(fù)數(shù)概念的理解以及復(fù)數(shù)的加減乘除四則運算． 備考指要 學(xué)習復(fù)數(shù)要明確復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)運算，掌握化歸思想，設(shè)出

14、復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化. [例4]　(北京高考)設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝________． [解析]　(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i. ∵其對應(yīng)點在實軸上， ∴a＋1＝0，即a＝－1. [答案]?。? [例5]　(江蘇高考)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________． [解析]　因為z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的實部是5. [答案]　5 6．(安徽高考改編)設(shè)i是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則＋i·＝_

15、_______． 解析：∴＋i·＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2. 答案：2 7．(湖南高考)復(fù)數(shù) ( i為虛數(shù)單位)的實部等于________． 解析：直接運算得＝－(3＋i)＝－3－i，故實部為－3. 答案：－3 8．(湖南高考改編)復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)點位于第________象限． 解析：z＝i(1＋i)＝－1＋i，在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標為(－1，1)，其在第二象限． 答案：二 9．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________． 解析：復(fù)數(shù)＝＝， 依題意得∴a＝2. 答案：2 考查方式 本部分知識是教材

16、的新增內(nèi)容，高考試題中必定有這方面的考題．在填空題中，主要考查基本知識和技能，如對條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的靈活應(yīng)用或補全程序框圖． 備考指要 在畫框圖時，需要有較高的抽象概括能力和邏輯思維能力，要熟悉事物的來龍去脈，從頭至尾抓住主要脈絡(luò)進行分解，弄清各步的邏輯關(guān)系. [例6]　(江蘇高考)如圖是一個算法的流程圖，則輸出的a的值是________． [解析]　由a＝1，b＝9，知a＜b， 所以a＝1＋4＝5，b＝9－2＝7，a＜b. 所以a＝5＋4＝9，b＝7－2＝5，滿足a＞b. 所以輸出的a＝9. [答案]　9 [例7]　(湖北高考改編)閱讀如圖所示的流程圖，運行相

17、應(yīng)的程序，若輸入n 的值為9，則輸出S 的值為________． [解析]　S＝(21＋22＋…＋29)＋(1＋2＋…＋9)＝210－2＋45＝1 024＋43＝1 067. [答案]　1 067 10．(山東高考改編)執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，若輸入的x的值為1，則輸出的n的值為________． 解析：12－4×1＋3≤0，x＝2，n＝1；22－4×2＋3≤0，x＝3，n＝2；32－4×3＋3≤0，x＝4，n＝3；42－4×4＋3>0，跳出循環(huán)，此時輸出n值，故輸出的n值為3. 答案：3 11．(天津高考改編)閱讀如圖所示的算法流程圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為_

18、_______． 解析：S＝0，n＝3，第1次運行，S＝0＋(－2)3＝－8，n＝2，不滿足條件；第2次運行，S＝－8＋(－2)2＝－8＋4＝－4，n＝1，滿足條件，跳出循環(huán)，輸出S的值為－4. 答案：－4 12. 下面的程序流程圖，如果輸入三個實數(shù)a，b，c要求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入________． 解析：由題意輸出的應(yīng)為x與c中較大者，輸出的是x， ∴應(yīng)填c>x. 答案：c>x 模塊綜合檢測 (考試時間：120分鐘　試卷總分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．(四川高考)復(fù)數(shù)＝_

19、_______． 解析：＝＝(1－i)2＝－2i. 答案：－2i 2．在某個三段論的推理過程中，若小前提是：2100＋1是奇數(shù)；結(jié)論是：2100＋1不能被2整除．則該演繹推理的大前提是_____________________________________． 答案：一切奇數(shù)都不能被2整除(答案不惟一) 3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1.通過計算a2，a3，a4，猜想an＝________． 解析：a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，因此an＝. 答案： 4．用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一個能被5整除”時，假

20、設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為___________________． 解析：“a，b中至少有一個能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”． 答案：a，b都不能被5整除 5．①正方形的對角線互相平分； ②平行四邊形的對角線互相平分； ③正方形是平行四邊形． 根據(jù)“三段論”推理推出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是________(填序號)． 解析：根據(jù)三段論的一般形式，可以得到大前提是②，小前提為③，故得到結(jié)論為①. 答案：① 6．(浙江高考改編)若某算法流程框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運行后輸出的結(jié)果是________． 解析：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝4，i＝3；S＝11，

21、i＝4；S＝26，i＝5；S＝57，i＝6，此時S>n，所以i＝6. 答案：6 7．如果復(fù)數(shù)z＝3＋ai滿足條件|z－2|<2，那么實數(shù)a的取值范圍是___________________． 解析：∵|z－2|<2，∴ <2. ∴－

22、案：－1 10．下表是關(guān)于出生男嬰與女嬰調(diào)查的列聯(lián)表，那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________. 晚上 白天 總計 男嬰 45 B 女嬰 A 47 C 總計 98 D 180 解析：45＋A＝98?A＝98－45＝53， 98＋D＝180?D＝180－98＝82， B＋47＝D?B＝82－47＝35， C＝A＋47?C＝53＋47＝100. 答案：53　35　100　82 11．2014年元旦來臨之際，某服裝商場為了了解大衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某四個月的月

23、銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x(℃) 17 13 8 2 月銷售量y(件) 24 33 40 55 由表中的數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝x＋中的≈－2.氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為7 ℃，據(jù)此估計該商場下個月大衣的銷售量約為________件． 解析：＝10，＝38，又∵≈－2，∴＝－≈38＋20＝58，∴線性回歸方程＝－2x＋58，把x＝7代入＝－2x＋58，得＝－14＋58＝44，∴該商場下個月大衣的銷售量約為44件． 答案：44 12．下圖中還有“哺乳動物”“地龜”“長尾雀”三項未填，請補充完整這一結(jié)構(gòu)圖． ①_____________

24、___； ②________________； ③________________. 解析：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖及動物間的從屬關(guān)系，可知①為“哺乳動物”，②為“地龜”，③為“長尾雀”． 答案：①哺乳動物?、诘佚敗、坶L尾雀 13．凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________． 解析：∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)， 且A，B，C∈(0，π)， ∴≤f＝f， 即sin A＋sin B＋s

25、in C≤3sin ＝， 所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 答案： 14．我們用記號eiθ來表示復(fù)數(shù)cos θ＋isin θ，即eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…是自然對數(shù)的底數(shù)，θ的單位是弧度)，則①2ei＝2i；②＝sin θ；③eiπ＋1＝0.其中正確的式子代號是________． 解析：2ei＝2＝2i，∴①正確． e－iθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)＝cos θ－isin θ， ∴＝cos θ.∴②錯． eiπ＝cos π＋isin π＝－1，∴③正確． 答案：①③ 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(本

26、小題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，a∈R.若|z1－2|<|z1|，求a的取值范圍． 解：z1＝＝2＋3i， 2＝a－2＋i， z1－2＝2＋3i－a＋2－i＝4－a＋2i. ∵|z1－2|<|z1|， ∴<. ∴1

27、＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋. 求證：a，b，c中至少有一個大于0. 證明：假設(shè)a，b，c，都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 那么a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0， 即a＋b＋c>0，與a＋b＋c≤0矛盾． ∴a，b，c中至少有一個大于0. 18．(本小題滿分16分)對一批貨物征收稅金：價格在10 000元以上的征稅5%；在5 000元以上，10 000元以下(含10 000元)的征稅3%；在1 000元以上，5 000元以下(含5 000元)的征稅2%；1 000元以下(含1 000元)的貨物免稅．請設(shè)

28、計一個根據(jù)貨物價格輸出稅金的流程圖． 解：程序框圖如下圖： 19．(本小題滿分16分)(新課標Ⅱ)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 　(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收

29、入． 解：(1)由所給數(shù)據(jù)計算得 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14， ＝＝＝0.5， ＝－＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回歸方程為＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 將2015年的年份代號t＝

30、9代入(1)中的回歸方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元． 20．(本小題滿分16分)(遼寧高考)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 合計 70 30 100 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”； (2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品．現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取

31、3人，求至多有1人喜歡甜品的概率． 解：(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 χ2＝＝≈4.762. 由于4.762>3.841，所以有95%的把握認為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”． (2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生，i＝1，2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生，j＝1，2，3.Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則 A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 事件A是由7個基本事件組成，因而P(A)＝. 17