2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末小結(jié)教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測 [對應(yīng)學(xué)生用書P47] 考情分析 矩陣與變換是新增內(nèi)容，限制了矩陣為二階矩陣，因此運算求解難度都不大，大多為基礎(chǔ)題，考查基本概念與方法． 真題體驗 1．(福建高考)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝(a＞0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求A2的逆矩陣． 解：(1)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任一點P(x，y)在矩陣A對應(yīng)變換下的像是P′(x′，y′)，則＝ ＝得 又點P′(x′，y′)

2、在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1， 即a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1. 依題意得解得或 因為a＞0，所以 (2)由(1)知，A＝，A2＝ ＝， 所以|A2|＝1，(A2)－1＝. 2．(江蘇高考)已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 解：A2＝ ＝. 設(shè)α＝.由A2α＝β，得 ＝， 從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝. 求矩陣、逆矩陣 掌握矩陣、逆矩陣的概念，矩陣相等的定義，二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則，兩個二階矩陣的乘法法則

3、及簡單性質(zhì)，會求逆矩陣，會用系數(shù)矩陣的逆矩陣或二階行列式求解二元一次方程組． [例1]　　求矩陣A＝的逆矩陣． [解]　設(shè)A－1＝，根據(jù)可逆矩陣的定義， 則 ＝， 即＝， 根據(jù)矩陣相等得以及 解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1， 所以A－1＝. [例2]　設(shè)矩陣A＝，X＝，B＝，試解方程AX＝B. [解]　由于A＝， 而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0， 系數(shù)矩陣A可逆， 此時方程組有唯一解， 而A－1＝＝， 所以X＝A－1B ＝ ＝＝. 即 求曲線在平面變換下的方程 掌握平面變換與對應(yīng)矩陣之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，理解矩陣乘法與復(fù)合變換之間

4、的關(guān)系． [例3]　二階矩陣M1和M2對應(yīng)的變換對正方形區(qū)域的作用結(jié)果如下圖． (1)分別寫出一個滿足條件的矩陣M1和M2； (2)根據(jù)(1)的結(jié)果，令M＝M2M1，求直線x－y－1＝0在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的曲線方程． [解]　(1)觀察圖形可知，M1對應(yīng)的變換為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的的伸縮變換，M2對應(yīng)的變換為逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換， 故M1＝，M2＝. (2)M＝ ＝， 設(shè)直線x－y－1＝0上任意一點P(x0，y0)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的對應(yīng)點P′(x，y)， 則 ＝＝， ∴ 因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0. 故所求曲線方程為2x＋y－

5、1＝0. [例4]　設(shè)矩陣M＝(其中a＞0，b＞0)． (1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； (2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． 解：(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝， 則MM－1＝. 又M＝，所以 ＝， 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 故所求的逆矩陣M－1＝. (2)設(shè)曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)， 則 ＝，即 又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1， 則＋b

6、2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a＞0，b＞0，所以 特征值與特征向量 理解特征值、特征向量的概念，會求一個二階矩陣的特征多項式，特征值及每個特征值對應(yīng)的一個特征向量；能夠計算多次變換的結(jié)果；應(yīng)用二階矩陣的特征值、特征向量求解實際問題． [例5]　(江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值． 解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1. ∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝. ∴矩陣A的特征多項式為 f(λ)＝＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4. [例6]　給定矩陣M＝，向

7、量α＝. (1)求M的特征值及對應(yīng)的特征向量e1，e2； (2)確定實數(shù)m，n使向量α可表示為α＝me1＋ne2； (3)利用(2)中表達(dá)式間接計算M2008α. [解]　(1)特征多項式 f(λ)＝＝(λ－1)2－4， 令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1. M的特征值λ1＝3對應(yīng)的特征向量e1＝， 特征值λ2＝－1對應(yīng)的特征向量e2＝， (2)因為α＝me1＋ne2， 所以＝m＋n，即 m＝4，n＝－3， (3)M2008α＝M2008(4e1－3e2) ＝4(M2008e1)－3(M2008e2)＝4(λe1)－3(λe2) ＝4×32008－3×(－1)2008＝. 5