小學六年級數(shù)學培優(yōu)專題訓練

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前言 21世紀，數(shù)字化時代已經來臨，數(shù)學在人類社會中發(fā)揮著日益重要的作用。作為基礎教育的核心課程，數(shù)學學習與孩子的思維發(fā)展密切相關。 為了激發(fā)孩子的學習興趣，培養(yǎng)良好學習習慣，提高孩子的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，幫助孩子考上一所名牌中學，我們特此編寫了本教材。 具體來說本教材有以下幾個方面的亮點： 1．內容豐富：本書根據(jù)新課標對小學階段數(shù)學知識的劃分，安排了數(shù)的認識、數(shù)的運算、空間與圖形、解決問題、實戰(zhàn)模擬五個板塊的內容。分類系統(tǒng)學習，各個擊破，提高效率，針對性和指導性更強。 2．循序漸進：本書的例題講解由淺入深，解答過程剖析詳盡。拓展演練與例題講解的要點密切配合，引導學生拾級而上，循序漸進地進行學習。 3．專題輔導：精心摘錄了各校試卷中相關內容的不同題型，方便教師和家長有針對性地輔導，也可使學生從題海中解脫出來，精練典型題，從而實現(xiàn)舉一反三的學習目的。 4．選題新穎：所選例題和練習題內容豐富，貼近學生的現(xiàn)實生活，開闊學生的數(shù)學視野，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)孩子創(chuàng)新思維能力。 今天，我們?yōu)楹⒆犹峁┮惶c撥方法、啟迪思維的數(shù)學學習禮物。希望通過我們的引導，讓孩子擁有學習數(shù)學的智慧和快樂，在學習中找到成功的喜悅，培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新思維能力，幫助他們塑造一個真正富有競爭力的未來。 目錄 一、數(shù)的認識 第1講 數(shù)的認識 1 第2講 數(shù)的整除 5 二、數(shù)的運算 第3講 簡便運算（1） 8 第4講 簡便運算（2） 10 第5講 簡便運算（3） 14 第6講 簡易方程 16 第7講 定義新運算 19 三、空間與圖形 第8講 巧求面積（1） 22 第9講 巧求面積（2） 25 第10講 長方體的表面積和體積 28 第11講 圓柱體的表面積 31 第12講 圓柱和圓錐的體積 34 四、解決問題 第13講 畫圖法解應用題 37 第14講 假設法解應用題 40 第15講 列方程解應用題（1） 43 第16講 列方程解應用題（2） 46 第17講 行程問題之多次相遇 49 第18講 行程問題之環(huán)形賽道 52 第19講 行程問題之巧用比例 54 第20講 圖示法解分數(shù)應用題 57 第21講 還原法解分數(shù)應用題 61 第22講 轉化法解分數(shù)應用題 64 第23講 抓住不變量解分數(shù)應用題 67 第24講 巧用比解分數(shù)應用題 70 第25講 對應法解分數(shù)應用題 73 第26講 假設法解分數(shù)應用題 76 第27講 百分數(shù)應用題—溶劑問題 79 第28講 工程問題（1） 82 第29講 工程問題（2） 85 第30講 按比例分配 87 第31講 比例的應用（1） 90 第32講 比例的應用（2） 93 第33講 牛吃草問題 96 第34講 時鐘問題 99 第35講 容斥原理 102 第36講 抽屜原理 105 五、實戰(zhàn)模擬 小升初選校模擬試卷（一） 107 小升初選校模擬試卷（二） 110 小升初選校模擬試卷（三） 114 小升初選校模擬試卷（四） 118 121 第1講 數(shù)的認識 一、夯實基礎 1．數(shù)的意義 （1）自然數(shù) 我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的數(shù)，像1、2、3……叫做自然數(shù)。 （2）小數(shù) 把整數(shù)“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。 （3）分數(shù) 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。 （4）百分數(shù) 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。百分數(shù)也叫百分率或百分比。百分數(shù)不能表示一個確定的數(shù)量，因此，百分數(shù)后面不帶計量單位。 2．數(shù)的大小比較 （1）整數(shù)的大小比較 比較兩個整數(shù)的大小，先看位數(shù)，位數(shù)多的數(shù)大；位數(shù)相同，從最高位看起，相同數(shù)位上的數(shù)大的那個數(shù)就大。 （2）小數(shù)的大小比較 比較兩個小數(shù)的大小，先看整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)比較大；如果整數(shù)部分相同，就看十分位，十分位大的小數(shù)比較大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小數(shù)比較大…… （3）分數(shù)的大小比較 整數(shù)部分相同的同分母分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大。例如：＜，2＞2。 整數(shù)部分相同的同分子分數(shù)，分母小的分數(shù)比較大。例如：＞，3＞3。 分子、分母不相同的分數(shù)，一般先通分再比較，也可以把各個分數(shù)化成小數(shù)再進行比較。 3．小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)的互化 （1）小數(shù)化成分數(shù)。原來是幾位小數(shù)，就在1后面寫幾個零做分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點做分子，能約分的約分。 （2）分數(shù)化成小數(shù)。分母是10、100、1000的分數(shù)，可以直接去掉分母，看分母中1后面有幾個零，就在分子從最后一位起向左數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。分母是任意自然數(shù)的分數(shù)化成小數(shù)的一般方法是分母去除分子。一個最簡分數(shù)，如果分母中有除了2和5以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。 （3）小數(shù)化成百分數(shù)。只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。 （4）百分數(shù)化成小數(shù)。只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。 （5）分數(shù)化成百分數(shù)。通常把分數(shù)化成小數(shù)后（遇到除不盡時常要保留三位小數(shù)），再化成百分數(shù)。 （6）百分數(shù)化成分數(shù)。先把百分數(shù)改成分母是100的分數(shù)，再約分成最簡分數(shù)。 二、典型例題 例1．比較下列各組分數(shù)的大小 （1）和 （2）和 分析：進行分數(shù)的大小比較時，首先要仔細觀察每組分數(shù)的特點，然后再靈活選擇比較方法，比較的方法越簡單越好。 （1）和這兩個分數(shù)的分母比較大，分子比較小，可變?yōu)橥肿颖容^。 （2）和這兩個分數(shù)一個大于，一個小于，可用為標準進行比較。 解（1）：==，==， ＞，得出＞。 解（2）：＞，＜，得出＞。 例2．某數(shù)增加它的20%后，再減少20%，結果比原數(shù)減少了（ ）。 　　A. 4% B. 5% C. 10% D. 20% 分析：宜用設數(shù)驗證法?？梢酝ㄟ^設數(shù)計算來加以判斷。 解：設某數(shù)為100 則100（1+20%）=120， 120（1－20%）=96， （100－96）100=4%。 故應選A。 數(shù)的認識課堂過關卷 一、細心填空 1．用3個0和3個6組成一個六位數(shù)，只讀一個零的最大六位數(shù)是（ ）；讀兩個零的六位數(shù)是（ ）；一個零也不讀的最小六位數(shù)是（ ）。 2．一個三位小數(shù)，四舍五入后得4.80，這個三位小數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。 3．若被減數(shù)、減數(shù)與差這三個數(shù)的和為36，那么被減數(shù)為（ ）。 4．把0.35，，，34%，從大到小排序（ ）。 5．某班男生人數(shù)是女生的，女生人數(shù)占全班人數(shù)的（ ）％ 6．甲數(shù)比乙數(shù)多25%，則乙數(shù)比甲數(shù)少（ ）%。 7．一個分數(shù)的分子比分母少20，約分后是，這個分數(shù)是（ ）。 8．寫出三個比小，而比大的最簡分數(shù)是（ ）、（ ）、（ ）。 9．中有（ ）個。 10．有一個最簡真分數(shù)，分子和分母的積是36，這個分數(shù)最大是（ ）。 11．A+B=60，AB=，A=（ ），B=（ ）。 12．( )＋( )=(填兩個分母小于12的分數(shù)) ＋= (填兩個不同的整數(shù))。 13．一個最簡分數(shù)，若分子加上1，可以約簡為，若分子減去一，可化簡成，這個分數(shù)是（ ）。 14．修一段600米長的路，甲隊單獨修8天完成，乙隊單獨修10天完成。兩隊合修（ ）天完成它的。 15．一種商品，先提價20%，又降價20%后售價為96元，原價為（ ）元。 16．甲、乙兩個數(shù)的差是35.4，甲、乙兩個數(shù)的比是5：2，這兩個數(shù)的和是（ ）。 17．有甲、乙、丙三種，甲種鹽水含鹽量為4%，乙種鹽水含鹽量為5%，丙種鹽水含鹽量為6%。現(xiàn)在要用這三種鹽水中的一種來加水稀釋，得到含鹽量為2%的鹽水60千克。如果這項工作由你來做，你打算用（ ）種鹽水，取（ ）千克，加水（ ）千克。 18．[x]表示取數(shù)x的整數(shù)部分，比如[13.58]=13。若x=8.34，則[x]＋[2x]＋[3x]=（ ）。 二、選擇 1． 最大的小數(shù)單位與最小的質數(shù)相差（ ）。 　 A． 1.1 B． 1.9 C． 0.9 D． 0.1 2．3.999保留兩位小數(shù)是（ ）。 A． 3.99 B． 4.0 C．4.00 D．3.90 3．下列四個數(shù)中，最大的是（ ）。 A．101%　　　 B．0. 　　　C．　　　　D．1 4.平均每小時有36至45人乘坐游覽車，那么3小時中有 人乘坐游覽車。 A．少于100 B．100與150之間 C．150與200之間 D．200與250之間 5.小明所在班級的數(shù)學平均成績是98分，小強所在班級的數(shù)學平均成績是96分，小明考試得分比小強的得分（ ）。 A．高 B．低 C．一樣高 D．無法確定 6．一次數(shù)學考試，5名同學的分數(shù)從小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他們的平均分可能是（ ）。 A．75 B．84 C．86 D．93 7．的分子加上6，如果要使這個分數(shù)的大小不變，分母應該（　　） A．加上20 B．加上6 C．擴大2倍 D．增加3倍 8．書店以50元賣出兩套不同的書，一套賺10%，一套虧本10%，書店是( ) A．虧本 B．賺錢 C．不虧也不賺 9．把1克鹽放入100克水中，鹽與鹽水的比是（ ）。 A．1：99 B．1：100 C．1：101 D．100：101 10．甲、乙兩個倉庫所存煤的數(shù)量相同，如果把甲倉煤的調入乙倉，這時甲倉中的煤的數(shù)量比乙倉少（ ）。 A.50% B.40% C.25% 三、星級挑戰(zhàn) ★1．財會室會計結賬時，發(fā)現(xiàn)財面多出32.13元錢，后來發(fā)現(xiàn)是把一筆錢的小數(shù)點點錯了一位，原來這筆錢是多少元？ ★★2．暑假期間，明明和亮亮去敬老院照顧老人。7月13日他們都去了敬老院，并約好明明每兩天去一次，亮亮每3天去一次。 （1）7月份，他們最后一次同去敬老院的日子是（ ）。 （2）從7月13日到8月31日，他們一起去敬老院的情況有（ ）次。 第2講 數(shù)的整除 一、夯實基礎 整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，也可以說b能整除a。如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。 能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)。也就是個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。也就是個位上是1，3，5，7，9的數(shù)是奇數(shù)。 一個數(shù)如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)。一個數(shù)除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。 每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式，這幾個質數(shù)都叫做這個合數(shù)的質因數(shù)。把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。公因數(shù)只有1的兩個數(shù)或幾個數(shù)，叫做互質數(shù)。 幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個，叫做最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個叫做這個數(shù)的最小公倍數(shù)。 二、典型例題 例1．從0、7、5、3四個數(shù)字中選三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，使組成的數(shù)能同時被2、3和5整除．這樣的三位數(shù)有幾個？ 分析：根據(jù)能被2、3、5整除的數(shù)的特征，確定出所組成的三位數(shù)要能同時被2、3、5整除，這個三位數(shù)的個位數(shù)字必須是0?，F(xiàn)在一共有四個數(shù)字，這個三位數(shù)的十位和百位上的數(shù)字只能從7、5、3三個數(shù)字中選取，且每位上數(shù)字的和要能被3整除。 解：一共有兩個：570或750。 例2．有四個小朋友，他們的年齡剛好一個比一個大1歲，又知它們年齡的乘積是360。問：其中年齡最大的小朋友是多少歲？ 分析：360是年齡的乘積，故可將360分解質因數(shù)，再將這些質因數(shù)依據(jù)題意，組合成4個連續(xù)自然數(shù)的乘積。再經過比較、分析，便可找到年齡最大的小朋友的年齡數(shù)。 解：360=222335=3（22）5（23）=3456 答：年齡最大的小朋友是6歲。 例3．同學們在操場上列隊做體操，要求每行站的人數(shù)相等，當他們站成10行、15行、18行、24行時，都能剛好站成一個長方形隊伍，操場上同學最少是多少人？ 分析：題目要求的是“最少”為多少人，可知操場上的同學數(shù)量正好是10、15、18、和24的最小公倍數(shù)。 解： 10、15、18和24的最小公倍數(shù)是:2351134=360 答：操場上的同學最少是360人。 數(shù)的整除課堂過關卷 一、填空 1．在l至20的自然數(shù)中，（ ）既是偶數(shù)又是質數(shù)；（ ）既是奇數(shù)又是合數(shù)。 2．一個數(shù)，如果用2、3、5去除，正好都能整除，這個數(shù)最小是（ ），用一個數(shù)去除30、40、60正好都能整除，這個數(shù)最大是（ ）。 3．8（ ）5（ ）同時是2， 3 ，5的倍數(shù)，則這個四位數(shù)為（ 　 　 ）。 4．一個五位數(shù)7□35△，如果這個數(shù)能同時被2、3、5整除，那么□代表的數(shù)字是（ ），△代表的數(shù)字是( )。 5．從0、5、8、7中選擇三個數(shù)字組成一個同時能被2、3、5整除的最大三位數(shù)，這個三位數(shù)是（ 　　 ），把它分解質因數(shù)是：（ 　 　 ）。 6．把84分解質因數(shù)：84=（ 　 　 ）。72和54的最大公約數(shù)是（ 　 ）。 7．12的約數(shù)有（ 　 　 ），從中選出4個數(shù)組成一個比例是（ 　 　 ）。 8．公因數(shù)只有（ 　 ）的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)，自然數(shù)a和（ ）一定是互質數(shù)。 9．a、b都是非零自然數(shù)，且ab=c，c是自然數(shù)，（ 　　 ）是（ 　　 ）的因數(shù)，a、b的最大公因數(shù)是（ 　　 ），最小公倍數(shù)是（ 　　 ）。 10．A、B分解質因數(shù)后分別是：A=237，B=257。A、B最大公因數(shù)是（ ）， 最小公倍數(shù)是（ ）。 11．A=223，B=2C5， 已知A、B兩數(shù)的最大公約數(shù)是6，那么C是（ 　　 ），A、B的最小公倍數(shù)是（ 　　 ）。 12．在括號里填上合適的質數(shù)：（ ）＋（ ）=21=（ ）（ ）。 13．兩個質數(shù)的和是2001，這兩個質數(shù)和積是（ 　　 ）。 14．45與某數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180，某數(shù)是（ 　　 ）。 15．已知兩個互質數(shù)的最小公倍數(shù)是153，這兩個互質數(shù)是（ 　　 ）和（　　　　）。 二、解決問題 1．有兩根繩子，第一根長18米，第二根長24米，要把它們剪成同樣長短的跳繩，而且不能有剩余，每根跳繩最長多少米？一共可剪成幾根跳繩？ 2．一塊長方形木板長20分米，寬16分米。要鋸成相同的正方形木板，要求正方形木板的面積盡量大，而且原來木板沒有剩余，可以鋸成多少塊？每塊正方形木板的面積是多少平方分米？ 3．汽車站有開住甲、乙、丙三地的汽車，到甲地的汽車每隔15分鐘開出一輛；到乙地的汽車每隔27分鐘開出一輛；到丙地的汽車每隔36分鐘開出一輛。三路汽車在同一時刻發(fā)車以后，至少需要經過多少時間，才能又在同一時刻發(fā)車？ 三、星級挑戰(zhàn) ★1．有一行數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，在前100個數(shù)中，偶數(shù)有多少個？ ★★2．有一堆蘋果，如果3個3個的數(shù)，最后余2個，如果5個5個的數(shù)，最后余4個，如果7個7個的數(shù)，最后余6個，這堆蘋果最少有多少個？ 第3講 簡便運算（1） 一、夯實基礎 所謂簡算，就是利用我們學過的運算法則和運算性質以及運算技巧，來解決一些用常規(guī)方法在短時間內無法實現(xiàn)的運算問題。 簡便運算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個數(shù)拆成的兩部分中含有一個整十、整百、整千或者有利于簡算的數(shù)，湊是指把幾個數(shù)湊成整十、整百、整千……的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進行適當?shù)淖兓?，運用運算定律或性質再進行簡算。 讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質： 乘法結合律：abc=a（bc）=（ac）b 乘法分配律：a（b＋c）=ab＋ac a（b－c）=ab－ac 二、典型例題 例1. （1）99997778＋33336666 （2）765640.52.50.125 分析（一）：通過觀察發(fā)現(xiàn)這道題中9999是3333的3倍，因此我們可以把3333和6666分解后重組，即333332222=99992222 這樣再利用乘法分配律進行簡算。 解（一）: 原式=99997778＋333332222 =99997778＋99992222 =（7778＋2222）9999 =99990000 分析（二）：我們知道0.52，2.54，0.1258均可得到整數(shù)或整十數(shù)，從而使問題得以簡化，故可將64分解成248，再運用乘法交換律、結合律等進行計算。 解（二）： 原式=765（248）0.52.50.125 =765（20.5）（42.5）（80.125） =7651101 =7650 例2．399.69－19980.8 分析：這道題我們仔細觀察兩個積的因數(shù)之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)減數(shù)的因數(shù)1998是被減數(shù)因數(shù)399.6的5倍，因此我們根據(jù)積不變的規(guī)律將399.69改寫成（399.65）（95），即19981.8，這樣再根據(jù)乘法分配律進行簡算。 解: 原式=（399.65）（95）－19980.8 =19981.8－19980.8 =1998（1.8－0.8） =19981 =1998 例3．654321123456－654322123455 分析：這道題通過觀察題中數(shù)的特點，可以看出被減數(shù)中的兩個因數(shù)分別比減數(shù)中的兩個因數(shù)少1和多1，即654321比654322少1，123456比123455多1，我們可以將被減數(shù)改寫成（654321）（123455＋1），把減數(shù)改寫成（654321＋1）123455，再利用乘法分配律進行簡算。 解： 原式=654321（123455＋1）－（654321＋1）123455 =654321123455＋654321—654321123455－123455 =654321－123455 =530866 三、熟能生巧 1．（1） 888667＋444666 （2）99991222－3333666 2．（1） 400.67－20030.4 （2）2397.2＋9568.2 3．（1） 19891999－19882000 （2）86422468－86442466 四、拓展演練 1．12344326＋24682837 2． 27512＋165023－33007.5 3． 76543211234567－76543221234566 五、星級挑戰(zhàn) ★1．315＋325＋335＋345 ★★★2．33334＋55555＋77777 ★★★3．99＋9999＋999999 ★★★4. 48.6767＋3.2486.7＋973.40.05 第4講 簡便運算（2） 一、夯實基礎 在進行分數(shù)的運算時，可以利用約分法將分數(shù)形式中分子與分母同時擴大或縮小若干倍，從而簡化計算過程；還可以運用分數(shù)拆分的方法使一些復雜的分數(shù)數(shù)列計算簡便。同學們在進行分數(shù)簡便運算式，要靈活、巧妙的運用簡算方法。 讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質： 乘法結合律：abc=a（bc）=（ac）b 乘法分配律：a（b＋c）=ab＋ac a（b－c）=ab－ac 拆分：=－ =（－） 二、典型例題 例1．（1）20062006 （2）9.14.841.61.3 分析（一）：把2006化為假分數(shù)時，把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示，則便于約分和計算。 解（一）: 原式=2006 =2006 =2006= 分析（二）：根據(jù)除法的性質可知9.14.841.61.3可以寫成9.14.84（1.61.3），又根據(jù)分數(shù)與除法的關系，可以將其寫成分數(shù)形式，其中9.1與1.3，4.8與1.6，4與存在倍數(shù)關系，可以進行約分后再計算。 解（二）： 原式= =7330 =630 例2．（1） （2）（9＋7）（＋） 分析（一）：仔細觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分子中20052006可變形為（2004＋1）2006=20042006＋2006－1，同時發(fā)現(xiàn)2006－1=2005，這樣就可以把原式轉化成分子與分母相同，從而簡化運算。 解（一）： 原式= ==1 分析（二）：在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65，除數(shù)提取公因數(shù)5，再把和的和作為一個數(shù)來參與運算，會使計算簡便很多。 解（二）： 原式=（＋）（＋） =[65（＋）][5（＋）] =655=13 例3． ＋＋……＋ 分析：因為這個算式中的每個加數(shù)都可以分裂成兩個數(shù)的差，如=1－，=－，=－……其余的部分分數(shù)可以互相抵消，這樣計算就簡便許多。 解: 原式=（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－） =1－＋－＋－＋……＋－ =1－= 三、熟能生巧 1． （1）238238 （2）3.419.90.380.1931.1 2．（1） （2）（＋1＋）（＋＋） 3． ＋＋＋＋＋ 四、拓展演練 1．（1）12341 （2）2.843（11.42）1 2． （1） （2）（96）（32） 3． ＋＋＋……＋＋ 五、星級挑戰(zhàn) ★1． ＋＋＋＋＋＋ ★★2. ＋＋＋……＋ ★★★3． ＋＋＋……＋ ★★★4． 1－＋－＋－ 第5講 簡便運算（3） 一、 夯實基礎 所謂簡算，就是利用我們學過的運算法則和運算性質以及運算技巧，來解決一些用常規(guī)方法在短時間內無法實現(xiàn)的運算問題。 簡便運算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個數(shù)拆成的兩部分中含有一個整十、整百、整千或者有利于簡算的數(shù)，湊是指把幾個數(shù)湊成整十、整百、整千……的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進行適當?shù)淖兓?，運用運算定律或性質再進行簡算。 讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質： 等差數(shù)列的一些公式： 項數(shù)=（末項－首項）公差＋1 某項=首項＋公差（項數(shù)－1） 等差數(shù)列的求和公式：（首項＋末項）項數(shù)2 二、典型例題 例1． 2＋4＋6＋8……＋198＋200 分析：這是一個公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的首項是2，末項是200。這個數(shù)列的項數(shù)=（末項－首項）公差＋1=（200－2）2＋1=100項，如何求和呢？我們先用求平均數(shù)的方法：首、末兩項的平均數(shù)=（2＋200）2=101；第二項和倒數(shù)第二項的平均數(shù)也是（4＋98）2=101……依次求平均數(shù)，共算了100次，把這100個平均數(shù)加起來就是數(shù)列的和。即和=（首項＋末項）2項數(shù)。 解: 原式=（2＋200）2100=10100 例2． 0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9 分析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)題目中的6個加數(shù)都分別接近1、10、100、1000、10000、100000這6個整數(shù)，都分別少0.1，因此我們可以把這6個加數(shù)分別看成1、10、100、1000、10000、100000的整數(shù)，再從總和中減去6個0.1，使計算簡便。 解: 原式=1＋10＋100＋1000＋10000＋100000－0.16 =111111－0.6=1111110.4 例3．200820092009－200920082008 分析：這道題數(shù)值較大，計算起來比較繁瑣，但觀察這些數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性，即被減數(shù)和減數(shù)中因數(shù)具有相同的排列規(guī)律，因此我們可以把20092009寫成200910001，把20082008寫成200810001，這樣題目中被減數(shù)和減數(shù)的因數(shù)就完全相同，我們也就可以直接算出結果為0。 解: 原式=2008200910001－2009200810001=0 三、熟能生巧 1． 1＋3＋5＋7＋……＋65＋67 2． 9＋99＋999＋9999＋99999 3．1120122112211221－1221112011201120 四、拓展演練 1．（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99 （2）8.90.2＋8.80.2＋8.70.2＋……＋8.10.2 2．（1）98＋998＋9998＋99998＋999998 （2）3.9＋0.39＋0.039＋0.0039＋0.00039 3．（1）1234432143214321－4321123412341234 （2）200260066006－300340044004 五、星級挑戰(zhàn) ★1． （1）438.95 （2）47.265 （3）574.6225 （4）14.7580.25 ★★2. （44332－443.32）（88664－886.64） ★★3． 1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8 ★★★4． 2002－1999＋1996－1993＋1990－1987＋……＋16－13＋10－7＋4 第6講 簡易方程 一、夯實基礎 含有未知數(shù)的等式叫做方程，求方程的解的過程叫做解方程。解方程是列方程解應用題的基礎，解方程通常采用以下策略： ①對方程進行觀察，能夠先計算的部分先進行計算或合并，使其化簡。 ②把含有未知數(shù)的式子看做一個數(shù)，根據(jù)加、減、乘、除各部分的關系進行化簡，轉化成熟悉的方程。再求方程的解。 ③將方程的兩邊同時加上（或減去）一個適當?shù)臄?shù)，同時乘上（或除以）一個適當?shù)臄?shù)，使方程簡化，從而求方程的解。 ④重視檢驗，確保所求的未知數(shù)的值是方程的解。 二、典型例題 例1．解方程4（x－2）＋15=7x－20 分析：先運用乘法分配律將其展開，再運用等式的基本性質合并求解。 4（x－2）＋15=7x－20 解： 4x－8＋15=7x－20 3x=27 x=9 經檢驗x=9是原方程的解。 例2．解方程x2=（3x－10）5 分析：根據(jù)等式的基本性質，將方程兩邊同乘2和5的最小公倍數(shù)，使方程轉化為x5=（3x－10）2再求解。 x2=（3x－10）5 解： x210=（3x－10）510 x5=（3x－10）2 5x=6x－20 x－20=0 x=20 經檢驗x=20是原方程的解。 例3．解方程360x－3601.5x=6 分析：根據(jù)等式性質，將方程左右兩邊同乘3x使方程轉化后再求解。 360x－3601.5x=6 解： 1080－720=18x 18x=360 x=20 經檢驗x=20是原方程的解。 三、熟能生巧 1．①12－2（x－1）=4 ②5x＋19=3（x＋4）＋15 2．①（2x＋4）18=28 ②（5.3x－5）7=x－8 3．①7（x－3）=3（x＋5）＋4 ②x＋x3＋2x－30=180 四、拓展演練 1．①（x+10）＝6 ②8－4.5x＝3 2．①x＋—x＝ ②x＋7.4=x＋9.2 3．① ：18%＝ ②＝ 五、星級挑戰(zhàn) ★1．解方程： 13x－4（2x＋5）=17（x－2）－4（2x－1） ★2．解方程： 17（2－3x）－5（12－x）=8（1－7x） ★3．解方程：－=2 ★★4. 解方程：（x－5）=3－（x－5） 第7講 定義新運算 一、夯實基礎 同學們，我們都知道四則運算包括加、減、乘、除，我們接觸到的運算符號也無外乎“＋”、“－”、“”、“”。而在升學考試中，經常會出現(xiàn)一些嶄新的題目，這種題目中又出現(xiàn)了新的運算符號，如：⊙、※、◎……并賦予它們一種新的運算方法。這種運算符號本身并不重要，重要的是在題目中，各種運算符號規(guī)定了某種運算以及運算順序。這種運算非常有趣，同學們，你們想了解嗎？這一節(jié)我們就來學習定義新運算。 二、典型例題 例1． （1）a◎b=a＋b，求95的值。（2）定義新運算“⊙ ”，m⊙n=mn2.5。 求： ① 60.4⊙0.4的值是多少？ ② 351⊙0.3的值是多少？ 分析（1）：本題中的新運算符號“◎”表示的是求“◎”前后兩個數(shù)的和，也就是求9與5的和是多少。 解（1） ： 9◎5=9＋5=14 分析（2）：本題中新運算“⊙”的含義是求“⊙”前后兩個數(shù)的商的2.5倍是多少。 解（2）：① 60.4⊙0.4=60.40.42.5=1512.5=377.5 ② 351⊙0.3=3510.32.5=11702.5=2925 例2． 對于任意兩個自然數(shù)，定義一種新運算“*”，a*b=（a－b）2，求34*（52*48）值。 分析：新運算“*”的含義表示：求“*”前后兩數(shù)差的一半。本題在計算時，要注意運算順序，先計算括號內的“52*48”，再用34與“52*48”的結果在進行一次這樣的運算。 解：52*48=（52－48）2=42=2 因此34*（52*48）=34*2=（34－2）2=322=16。 例3．定義兩種新運算“◇”和“*”，對于任意兩個 數(shù)x、y，規(guī)定x◇y=x＋5y，x*y=（x－y）2 ，求5◇6＋3.5*2.5的值。 分析：本題包含兩種新運算，第一種新運算“◇”表示求“◇”前面的數(shù)與后面數(shù)的5倍的和是多少；第二種運算“*”表示“*”前面的數(shù)減去“*”后面數(shù)的差的2倍是多少。所以可以根據(jù)他們各自的含義分別求值再作和。 解：5◇6=5＋56=35 3.5*2.5=（3.5－2.5）2=2 5◇6＋3.5*2.5=35＋2=37 三、熟能生巧 1．（1） a★b=a－b，求45.2★38.9的值。 （2）x、y是兩個自然數(shù)，規(guī)定x⊙y=（x+y）10，求3⊙8的值。 2．定義一種新運算“◎”，規(guī)定A◎B=2（A＋B），求0.6◎（5.4◎5）的值。 3．定義兩種新運算“☆”和 “●”，已知a☆b=a2＋4.1b，a●b=8＋3（a－b），求6☆1＋4●2的值。 四、拓展演練 1． （1）定義一種新運算“※”，規(guī)定A※B=4A＋3B－5，求（1）6※9 （2）9※6。 （2）定義一種新運算“◆”，規(guī)定a◆b=（3x＋y）＋2＋x， 求：①10◆15 ②15◆10 2．（1）定義新運算“♂”，規(guī)定m♂n=（m－n）2，那么8 ♂（12♂2）與12♂（8♂2）是否相等？如果不相等，哪個大？ （2）定義一種新運算“”，已知ab=5a＋10b，求37＋58的值。 3．定義兩種運算“”和“⊙”，對于任意兩個整數(shù)a，b，ab=a＋b－1， a⊙b=ab－1。計算4⊙[（68）（35）]。 五、星級挑戰(zhàn) ★1．定義新運算“※”，若2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。 求2※（3※2）的值。 ★★2. 設a、b表示兩個數(shù)如果a≥b，規(guī)定：a◎b=3a－2b；如果a＜b，規(guī)定： a◎b=（a＋b）3。求： ①9◎6 ② 8◎8 ③2◎7 ★★3．設a、b表示兩個數(shù)，a⊙b=ab－a+b，已知a⊙7=37，求a的值。 ★★★4．設a、b表示兩個整數(shù)，規(guī)定：a ◎b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－1），求1◎100的值。 第8講 巧求面積（1） 一、夯實基礎 小學數(shù)學教材中學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等基本圖形面積的計算方法。常用的面積公式如下： 正方形 邊長邊長 S=a2 長方形 長寬 S=ab 平行四邊形 底高 S=ah 三角形 底高2 S=ah2 梯形 （上底+下底）高2 S=(a+b)h2 在實際應用過程中，我們除了掌握切分、割補、做差等一些基本的幾何解題思想外，還要掌握等量代換、妙用同底等一些有難度的解題方法。 二、典型例題 例1．兩個相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。 分析：陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質，差應相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉化為求直角梯形OEFC的面積。 解：直角梯形OEFC的上底為：10－3=7（厘米）， 直角梯形OEFC的面積為（7+10）22=17（平方厘米）。 答：陰影部分的面積是17平方厘米。 例2．如圖，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。 分析：因為陰影部分比三角形EFG的面積大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10平方厘米。 解：三角形EFG的面積為：1082=40（平方厘米）。 平行四邊形ABCD的面積為：40+10=50（平方厘米）。 答：平行四邊形的面積為50平方厘米。 例3．如圖,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點.那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？ 分析:由“ E、F分別為AB和AC的中點”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面積相等；三角形AEF和三角形BEF面積也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=862=24（平方厘米） S三角形ABF=S三角形ABC=24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面積是6平方厘米。 三、熟能生巧 1．如圖，兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米） 2．如圖，正方形邊長是10厘米，長方形的長為8厘米，寬為5厘米。陰影部分甲與陰影部分乙的面積差是多少平方厘米？ 3．如圖，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。 四、拓展演練 1．如圖，在長方形內畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49，那么圖中陰影部分的面積是多少？（單位：平方厘米） 2． 如圖，梯形的下底為8厘米，高為4厘米。陰影部分的面積是多少平方厘米？ 3．如圖，長方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中點，F(xiàn)、G分別是AB、CD的四等分點，H為AD上任意一點，求陰影部分面積。 五、星級挑戰(zhàn) ★1．如圖，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面積比三角形AOD的面積大多少平方厘米？ ★★2．有兩種自然的放法將正方形內接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個正方形的面積分別是多少？ 第9講 組合圖形面積（2） 一、夯實基礎 不規(guī)則圖形常由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規(guī)則圖形組合而成的，計算時常常要變動圖形的位置或對圖形進行適當?shù)姆指睢⑵囱a、旋轉，使之轉化為規(guī)則圖形的和、差關系，有時要和“容斥原理”合并使用才能解決。 計算圓的周長與面積的主要公式有： （1）圓的周長=π直徑=2π半徑，即：C=πd=2πr (2)中心角為n的弧的長度=nπ(半徑)180，即：l= （3）圓的面積=π(半徑) 2，即：S=πr2 (4)中心角為n的扇形的面積==nπ(半徑) 2360，即：S== l=lr 二、典型例題 例1．如下圖（1），在一個邊長為4cm的正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓，求陰影部分的面積。 分析（一）：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到圖（2）。這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等。所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。 分析（二）：將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補貼在下半圓的上側邊上，如圖（3）所示。陰影部分的面積是正方形面積的一半。 分析（三）：將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側，如圖（4）所示。陰影部分的面積是正方形的一半。 解：442=16（平方厘米） 例2．如下圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內畫圓，求陰影部分面積。 分析：陰影部分的面積等于兩個扇形的面積之和減去正方形的面積。 解：S陰影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD A B D C =AB22－AB2 =422－42 ≈16=9.12（平方厘米）。 例3．如下圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。 分析： 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（Ⅰ）的面積之差。而圖中（Ⅰ）的面積等于邊長為6的正方形面積減去的以6為半徑的圓的面積。 解：S陰影=S三角形ACD－（S正方形BCDE－S扇形EBD） = =40.26（平方厘米）。 三、熟能生巧 1．如下圖，圓的直徑為8cm，求陰影部分的面積。 2．如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分別以A、B為圓心，以AC、BC為半徑在三角形ABC內畫弧，求陰影部分的面積。 3．如下圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20厘米，如果陰影（1）的面積比陰影（2）的面積大7平方厘米，求BC長。 四、拓展演練 1．如下圖，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積占大圓面積的百分之幾？ 2．如下圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求陰影部分的面積。 3．如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1，和為24厘米。圖中陰影甲的面積比陰影乙的面積少多少？ 五、星級挑戰(zhàn) ★1．如下圖，將直徑AB為3厘米的半圓繞A逆時針旋轉60，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（取π=3.14）。 ★★2．求圖中的陰影部分的面積。（單位：厘米） 第10講 長方體的表面積和體積 一、夯實基礎 長方體和正方體六個面的總面積，叫做它們的表面積。長方體的六個面分為上下、左右、前后三組，每組對面的大小、形狀完全相同；正方體的六個面是大小相等的六個正方形。 長方體的表面積=（長寬+寬高+長高）2 正方體的表面積=棱長棱長6 物體占空間的大小，叫做物體的體積。容積是指所能容納物體的體積。一個物體的容積計算方法與體積計算方法相同，不過體積是從物體外面測量出長度再進行計算，容積是從物體內部測量出長度再進行計算。通常物體的體積要大于容積，當厚度忽略不計時，容積就等于體積。 長方體體積=長寬高 正方體體積=棱長棱長棱長 二、典型例題 例1．一塊長方形鐵皮長24厘米，四角剪去邊長3厘米的正方形后，然后通過折疊、焊接，做成一個無蓋的長方體鐵盒，鐵盒的容積是486立方厘米。求原來長方形鐵皮的面積。 分析：要求原來長方形鐵皮的面積，關鍵要能求出原長方形鐵皮的寬。根據(jù)題意，畫出示意圖，結合空間相像，可知做成的長方體鐵盒的長是24－32=18（厘米），高就是剪下的小正方形的邊長，也就是3厘米。又知鐵盒的容積是486厘米，這樣就可以算出鐵盒的寬。鐵盒寬并不是原來長方形鐵皮的寬，再加上32=6（厘米）才是原鐵皮的寬。 解：長方體鐵盒的長：24－32=18（厘米） 長方體鐵盒的寬：486318=9（厘米） 長方形鐵皮的寬：9＋32=15（厘米） 長方形鐵皮的面積：2415=360（平方厘米） 答：原長方形鐵皮的面積是360平方厘米。 例2．如右圖，用3條絲帶捆扎一個禮盒，第一條絲帶長235cm，第二條絲帶長445cm，第三條絲帶長515cm，每條絲帶的接頭處的長度均為5cm，求禮盒的體積。 分析：從圖中可以看出，在捆扎禮盒的絲帶中最長的一根去掉接頭的5cm，剩余部分的長度等于長方體長與寬和的2倍。 解：長＋寬＝（515－5）2＝255（cm） 長＋高＝（445－5）2＝220（cm） 寬＋高＝（235－5）2＝115（cm） 長＋寬＋高＝（255＋220＋115）2＝295（cm） 長：295－115＝180（cm） 寬：295－220＝75（cm） 高：295－255＝40（cm） 禮盒體積：1807540=540000（cm3）=540（dm3） 答：這個禮盒的體積是540立方分米。 例3．如圖（1），一個密封的長方體玻璃缸長15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按圖（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不計） 分析：長方體玻璃缸中的水的體積沒有變化，長也沒有變化，只是寬和水深相應的變化了。 解：設容器側放后水深是x厘米 1583＝154x x＝6 答：如果把玻璃缸按圖（2）放置，里面的水深是6厘米。 三、熟能生巧 1．在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小正方體（下圖），求這個立體圖形的表面積。 2．一個密閉的長方體水箱，長10分米，寬8分米，高6分米，內裝3分米深的水，若將長方體的長邊豎立起來，水深會是多少分米？ 3．右圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？ 四、拓展演練 1．如圖所示是一個棱長12厘米的正方體，從前住后，有一個“十”字型的洞。“十”字最短邊長都是2厘米，求它的表面積和體積？ 2．如圖，在一塊平坦的水泥地上，用磚和水泥砌成一個長方體的水泥池，墻厚為10厘米(底面利用原有的水泥地)。這個水泥池的體積是多少？ . 3．圖中的一些積木是由16塊棱長為2厘米的正方體堆成的，它的表面積是多少平方厘米？ 五、星級挑戰(zhàn) ★1．一個長方形水箱，從里面量長40厘米，寬30厘米，深35厘米。原來水深10厘米，放進一個棱長20厘米的正方形鐵塊后，鐵塊的頂面仍然高于水面，這時水面高多少厘米？ ★★2．有一個棱長是5厘米的正方體木塊，它的表面涂上紅油漆。將這個大正方體木塊鋸成棱長是1厘米的小正方體，散亂為一堆。在這些小正方體木塊中，三面涂紅漆的有幾塊？兩面涂紅漆、一面涂紅漆