大學(xué)物理教學(xué)課件：力5第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

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1、第五章第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1 剛體的運動剛體的運動 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律5.7 進動進動 5.1 剛體的運動剛體的運動 剛體（剛體（rigid body）：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化，）：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化， 理想化的模型。理想化的模型。平動和轉(zhuǎn)動，可以描平動和轉(zhuǎn)動，可以描述所有質(zhì)元（質(zhì)點）述所有質(zhì)元（質(zhì)點）的運動。的運動。平動（平動（trans

2、lation）時，剛體上所有點時，剛體上所有點運動都相同。運動都相同。剛體質(zhì)點間的相對運剛體質(zhì)點間的相對運動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動（動（rotation）的結(jié)果。）的結(jié)果。o oooddtP點線速度點線速度vrrP點線加速度點線加速度advdtddtrdrdtrv旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度瞬時軸瞬時軸v rrP 基點基點O剛體剛體剛體繞剛體繞O的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時軸可以改變的，反映順時軸的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量 定軸轉(zhuǎn)動（定軸轉(zhuǎn)動（rotation about affixed axis）：

3、退化為代數(shù)量，退化為代數(shù)量，剛體上任意點都繞同剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且一軸作圓周運動，且 ， 都相同。都相同。 , rv2 ran rdtdvat const. )()(0202221002 ttt OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 類似于多質(zhì)點系類似于多質(zhì)點系 )()()(iiiiiiiiizzzzrmrvmLLzdtdLModtLdM2軸對點對則外外 iiizrmJ2 Jz稱為剛體對稱為剛體對 z 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量rotational inertiaivi O, ,riri定軸定軸剛體剛體zFimidtdJdt

4、dLMzzz 外 zzJM 外轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 iiiizrFM sin外其中其中是對是對 z 軸的外力矩和。軸的外力矩和。定軸下，可不寫角標(biāo)定軸下，可不寫角標(biāo) Z，記作：，記作：與牛與牛II比較：比較：MFJma MJ J反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 miidmrJrmJ)()(連續(xù)分立 22 J由質(zhì)量對軸的分布決定。由質(zhì)量對軸的分布決定。dmrm一一. 常用的幾個常用的幾個J均勻圓環(huán)：均勻圓環(huán)：Jc =mR2；均勻圓盤：均勻圓盤：均勻桿：均勻桿：Jmrr rrrrciiiiiiiiii22322 rrr drRiiRi330414 JRmRc24

5、1242JmlJmlcA1121322，RmC CRmCCAml2l2二二. . 計算計算 J的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1. 對同一軸對同一軸 J具有可疊加性具有可疊加性J =Ji Jmrzi ii 22. 平行軸定理平行軸定理Jmrm xyzi iiiiii 222() m xm xxiiiiici22 () mxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222 m xyJiiiic( )22 JJmdc 2 JJcmin=mCdmJCJ平行平行 3. 對薄平板剛體的正交對薄平板剛體的正交軸定理軸定理Jm rm xm yziiiiii 222 例：已知圓盤例：已知圓盤JmRz 122求對

6、圓盤的一條直徑的求對圓盤的一條直徑的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy 142即即 JJJxy y rix z yi xi mi yx z 圓盤圓盤 R C m已知：已知： R =0.2 m，m =1kg，vo=0， h =1.5 m，繩輪無相對滑動，繩，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間不可伸長，下落時間 t =3s。求：輪對求：輪對O 軸軸 J=？解：動力學(xué)關(guān)系：解：動力學(xué)關(guān)系：對輪：對輪：TRJ (1), 對對：mmg T ma (2)5.4 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例 定軸定軸ORthmv0=0繩繩TGRNmgT = - T ma運動學(xué)關(guān)

7、系：運動學(xué)關(guān)系： aR(3)hat 122(4)(1)(4)聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：JgthmR ()2221 (.).9832151102114222kg m分析：分析：單位對；單位對；、一定，一定，合理；，合理；若若，得，得，正確。，正確。1230122.hmJtJhgt WF sinrF r sinM () WF s WMiii 力矩的空間積累效應(yīng)力矩的空間積累效應(yīng)5.5 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系 二二. . 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理 MdLdtJddtzzz外外 類比一維情形：類比一維情形：Fmdvdt ddtvdsdt- WJJ1222121212 一一. 力矩的

8、功力矩的功J - m d zx 軸軸rF令令轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能EJk 122 （可證：（可證：）121222Jm vi i 則則 WEEkk 21應(yīng)用：應(yīng)用： 飛輪儲能，飛輪儲能，Ek 2 Ek 慣性電車。慣性電車。三三. . 定軸轉(zhuǎn)動的功原理定軸轉(zhuǎn)動的功原理質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：W外外+ W內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）剛體重力勢能：剛體重力勢能：若若dW外外+ dW內(nèi)非內(nèi)非=0， 則則Ek +Ep =常量。常量。Emghmgmhmmghpiiiic ChchimiEp=0例例已知：均勻直桿已知：均勻直桿 m，長為，長為 l，初始水平靜止，

9、軸光滑，初始水平靜止，軸光滑，AOl 4 。求求 : 桿下擺桿下擺 角后，角速度角后，角速度 ?軸對桿作用力軸對桿作用力 N?解：桿解：桿 地球系統(tǒng)，地球系統(tǒng)， 只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。初始：初始：，Ek10 令令 EP10 末態(tài)：末態(tài)： EJko2212 , EmglP24 sin 則：則： 12402Jmglo sin (1) 由平行軸定理由平行軸定理 JJmdoc 2 1124748222mlmlml( ) (2)由由(1)、(2)得：得： 267glsin應(yīng)用質(zhì)心運動定理：應(yīng)用質(zhì)心運動定理： Nmgmac $ $sinlmgNmalcl方向：方向： (3)$ $co

10、stmgNmatct方向：方向： (4)algcl 4672 sin (5)allmgJctlo 444 cos 37g cos (6)由由(3)(4)(5)(6) 可解得：可解得：Nmgl 137sin, Nmgt 47cos Nmglmgt 13747sin$ $cos$ $ Nmg 7153162sin tgNNtgctgtl11413|()5.6 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律現(xiàn)在討論力矩對時間的積累效應(yīng)?，F(xiàn)在討論力矩對時間的積累效應(yīng)。質(zhì)點系：質(zhì)點系：對點：對點： MdLdt外外 ， MtLLiii外外 21對軸：對軸：MtLLziii

11、zz外外 21剛體：剛體：Lz =Jz iMtJJziizz外外 21剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 當(dāng)當(dāng) M外外z=0 時，時，Jz =const .大小不變大小不變正、負不變正、負不變 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動，若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動， 當(dāng)當(dāng) Mz外外 0 時，時，Jconst.izi ，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。例例如圖示已知：如圖示已知： M=2m，h， =60求：碰撞后瞬間盤的求：碰撞后瞬間盤的 0 ？ P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時盤的軸時盤的 =? ?解：解：m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)碰撞碰撞 t

12、極小，對極小，對 m +盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)對對 m + M +地球系統(tǒng)，只有重力做功，地球系統(tǒng)，只有重力做功， E守恒，守恒，則：則：P、 x 重合時重合時 EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin 12243RghR.()() 60o o MJmgRmRgR2225.7 旋進旋進（進動，Precess

13、ion）旋進：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。旋進：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 LL zz $ $（對軸）（對軸） 但對定點轉(zhuǎn)動但對定點轉(zhuǎn)動 L還平行于還平行于 嗎？嗎？顯然若顯然若mm12 (不對稱不對稱 )，則則 L（對（對點）點） 0，但質(zhì)量分布對稱、且剛體繞對稱但質(zhì)量分布對稱、且剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動時，對軸上任一點有：軸轉(zhuǎn)動時，對軸上任一點有： L軸軸 LL zJzz()$ $()對點對點對軸對軸 只討論具有對稱軸的剛體的旋進問題只討論具有對稱軸的剛體的旋進問題 MdLdt dLMdtM 當(dāng)當(dāng)時，時，MLd LL 則則只改變方向只改變方向

14、L不改變大小。不改變大小。 dLLd sin Q Qddt W WQ Q令令 則則MdLdtLddt sin Q QL sin W W W WMLMJsinsin 1 即：即： W W ，當(dāng)當(dāng)時，時， 90W WMJ 。以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進發(fā)生后：以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進發(fā)生后： 總總 W W只有高速自轉(zhuǎn)只有高速自轉(zhuǎn) W W時時， 才有才有總總 & & 這時才有這時才有 LJ& & 當(dāng)考慮到當(dāng)考慮到 W W 對對 總總 的貢獻時，的貢獻時， 自轉(zhuǎn)軸在旋進自轉(zhuǎn)軸在旋進時還會出現(xiàn)時還會出現(xiàn)微小的上下的周期擺動，微小的上下的周期擺動， 這種運動叫章動這種運動叫章動 (nutation)。地球轉(zhuǎn)軸的旋進：非球效應(yīng)，進動周期地球轉(zhuǎn)軸的旋進：非球效應(yīng)，進動周期25800 年，歲年，歲差差 （地球繞太陽一周：恒星年，春夏秋冬一輪回：太陽（地球繞太陽一周：恒星年，春夏秋冬一輪回：太陽年）年）20 分分 33 秒秒; ; 前漢，劉，觀察到前漢，劉，觀察到; ; 祖沖之，引入農(nóng)祖沖之，引入農(nóng)歷閏月歷閏月; ; 3000 年前，周，北極是年前，周，北極是b b，現(xiàn)，現(xiàn) ，12000年后，年后，織女星?？椗恰?/p>