2021-2022年北師大版數(shù)學(xué)必修4《平面向量的坐標》練習(xí)

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1、2021-2022年北師大版數(shù)學(xué)必修4《平面向量的坐標》練習(xí) 時間：45分鐘　滿分：80分 班級________　　姓名________　　分數(shù)________ 一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分) 1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則＝(　　) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案：D 解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D. 2．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　) A．(2,4) B．(3,5) C．(1,1) D．(－1，－1

2、) 答案：C 解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)． 3．已知點A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，則實數(shù)λ的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：C 解析：根據(jù)A，B兩點的坐標，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故選C. 4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c可用a，b表示為(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案：B 解析：設(shè)c＝x a＋y b，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－

3、1)＝(x＋y，x－y)． ∴解得故選B. 5．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標為(　　) A. B. C．(3,2) D．(1,3) 答案：A 解析：設(shè)點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故，解得，即點D，故選A. 6．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，則C的大小為(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(

4、a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝. 二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分) 7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，則2a－b＝________. 答案：(3,4) 解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)． 8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b與c共線，則k＝________. 答案：1 解析：a－2b＝(，3)，根據(jù)a－2b與c共線，得3k＝×，解得k＝1. 9. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x

5、軸上沿正向滾動．當圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標為________． 答案：(2－sin2,1－cos2) 解析：設(shè)A(2,0)，B(2,1)，由題意知劣弧長為2，∠ABP＝＝2. 設(shè)P(x，y)，則x＝2－1×cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos2， ∴的坐標為(2－sin2,1－cos2)． 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點，點C在直線AB上，且＝，連接DC延長至E，使||＝||. 求點E的坐標． 解析：設(shè)C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y

6、－4)． 即解得即C(－5，－2)．又E在DC的延長線上，∴＝，設(shè)E(a，b)，則(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)　解得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)． 11．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若＝，求點D的坐標； (2)設(shè)向量a＝，b＝，若ka－b與a＋3b平行，求實數(shù)k的值． 解：(1)設(shè)D(x，y)． 由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以，解得. 所以點D的坐標為(5，－6)． (2)因為a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，

7、b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由ka－b與a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－. 12．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t. (1)t為何值時，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由． 解析：＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． (1)若P在x軸上，則有2＋3

8、t＝0，t＝－；若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－；若P在第二象限，則有，解得－

9、 B．2 C．－2 D．－1 答案：D 解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三點共線，知存在實數(shù)λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共線，∴，∴p＝－1. 2．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝e1，＝e2，則＝(　　) A.(e1＋e2) B.(e1－e2) C.(2e2－e1) D.(e2－e1) 答案：A 解析：因為O是矩形ABCD對角線的交點，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故選A. 3．若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 答案：A

10、 解析：使平面向量a，b有公共起點O，如圖所示，則由對頂角相等，可得向量－a與－b的夾角也是60°. 4．如果a與b是一組基底，則下列不能作為基底的是(　　) A．a(chǎn)＋b與a－b B．a(chǎn)＋2b與2a＋b C．a(chǎn)＋b與－a－b D．a(chǎn)與－b 答案：C 解析：由已知，a與b不共線，根據(jù)平行四邊形法則，可知A，B，D選項中的兩個向量都可以作為基底，而a＋b與－a－b共線，不能作為基底． 5．如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，＝x＋y，且＝3，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案：D 解析：由已知＝3，得－＝3(

11、－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝. 6．設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：對于①，若向量a、b確定，因為a－b是確定的，故總存在向量c，滿足c＝a－b，即a＝b＋c故正確； 對于②

12、，因為c和b不共線，由平面向量基本定理知，總存在唯一的一對實數(shù)λ、μ，滿足a＝λb＋μc，故正確； 對于③，如果a＝λb＋μc，則以|a|、|λb|、|μc|為三邊長可以構(gòu)成一個三角形，如果b和正數(shù)μ確定，則一定存在單位向量c和實數(shù)λ滿足a＝λb＋μc，故正確； 對于④，如果給定的正數(shù)λ和μ不能滿足“以|a|，|λb|、|μc|為三邊長可構(gòu)成一個三角形”，這時單位向量b和c就不存在，故錯誤．故選C. 二、填空題(每小題5分，共5×3＝15分) 7．設(shè)G是△ABC的重心(即三條中線的交點)，＝a，＝b，試用a，b表示＝________. 答案：a＋b. 解析：延長AG交BC于D.

13、∵＝＝(＋)＝(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b. 8．已知e1，e2是兩個不共線向量，a＝k2e1＋e2與b＝2e1＋3e2共線，則實數(shù)k＝________. 答案：－2或 解析：由題設(shè)，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或. 9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 答案： 解析：由題意，知＝＋，＝＋，＝＋.又＝λ＋μ，所以＝＋，故，所以λ＋μ＝. 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．如圖，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，試用a，b表示. 解析：由＝3，

14、知N為AC的四等分點.＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b. 11．已知＝λ(λ∈R)，O是平面內(nèi)任意一點(O不在直線AB上)． (1)試以，為基底表示； (2)當λ＝時，試確定點P的位置． 解析：(1)∵＝－，＝－，由＝λ得(－)＝λ(－)， ∴＝λ＋(1－λ). (2)當λ＝時，由(1)可知＝＋＝(＋)，結(jié)合向量加法的幾何意義可知，此時點P為線段AB的中點． 12．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，AF與BD交于E，求證：E為線段BD的三等分點． 解析：設(shè)＝a，＝b，則＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a. 因為A、E、F與B、D、E分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ∈R，使＝λ，＝μ. 于是＝a＋λb，＝μb－μa. 由＋＝得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因為a，b不共線，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ. 解得λ＝μ＝，∴＝. 即E為線段BD(靠近D)的一個三等分點．