蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng) 探尋勾股數(shù) 教案

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1、 《探尋勾股數(shù)》活動(dòng)課教案 【活動(dòng)目標(biāo)】 1. 通過(guò)對(duì)勾股數(shù)深入的探索，由簡(jiǎn)單的勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，進(jìn)行對(duì)勾股數(shù)計(jì)算、證明，會(huì)寫(xiě)一些勾股數(shù)； 2. 讓學(xué)生在操作實(shí)踐中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，感受“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證和歸納”的學(xué)習(xí)方法，驗(yàn)證勾股數(shù)； 3. 培養(yǎng)學(xué)生勤于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、樂(lè)于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生初步感受科學(xué)思維的價(jià)值； 4. 利用類比、分類思想來(lái)探索勾股數(shù)，體會(huì)由特殊到一般再到特殊的思想過(guò)程，在解決問(wèn)題中會(huì)運(yùn)

2、用轉(zhuǎn)化和類比以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法. 【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn)：由簡(jiǎn)單的勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，探索一些復(fù)雜的勾股數(shù)，對(duì)發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算、驗(yàn)證. 難點(diǎn)：會(huì)用分類、類比的思想，從不同角度探索勾股數(shù)，并對(duì)探索發(fā)現(xiàn)加以驗(yàn)證. 【教學(xué)活動(dòng)過(guò)程】 一、創(chuàng)設(shè)情境： 考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一塊石碑，經(jīng)潛心研究，是一張數(shù)據(jù)缺損的數(shù)表, 你覺(jué)得這塊碑文表示什么？ 圖1 圖2 科學(xué)家將表格中的部分?jǐn)?shù)據(jù)整理出來(lái)了，缺失的數(shù)據(jù)是什么？ a

3、 b c 3 4 5 7 24 9 11 45 60 56 90 106 2700 2291 3541 240 設(shè)計(jì)意圖：考古圖片的引入應(yīng)發(fā)學(xué)生的興趣，缺失的數(shù)據(jù)激發(fā)學(xué)生探索的熱情。 二、探索過(guò)程： 活動(dòng)一 （探索基礎(chǔ)） 問(wèn)題1. 什么是勾股數(shù)？你能寫(xiě)出哪些勾股數(shù)？ （學(xué)生活動(dòng)，盡可能寫(xiě)出較多個(gè)） 問(wèn)題2. 你還能寫(xiě)出更多的勾股數(shù)嗎？ 問(wèn)題3. 對(duì)于這些勾股數(shù)你有沒(méi)有什么發(fā)現(xiàn)？怎樣探索勾股數(shù)呢？ 交流： 同學(xué)們所寫(xiě)的一些勾股數(shù)之間有沒(méi)有什么共同的特

4、征？可以用什么方法來(lái)進(jìn)行研究？ 設(shè)計(jì)意圖：回顧勾股數(shù)，從同學(xué)們熟知的勾股數(shù)開(kāi)始研究，讓學(xué)生感受到探索就是來(lái)自于身邊，并為接下來(lái)的探索做準(zhǔn)備。通過(guò)觀察數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生大膽嘗試分類研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。 活動(dòng)二（探索嘗試） 設(shè)（a,b,c）為一組勾股數(shù)，這里a

5、 表1 表2 交流：表1、表2中的數(shù)據(jù)各有什么特征？小組合作交流探討. 問(wèn)題1. 在表1中， a為奇數(shù)，正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系是_________,b、c與a2之間的關(guān)系式是___________. 根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出勾股數(shù)（13，____,_____）. 問(wèn)題2. 一般地，當(dāng)a=2n+1（n為正整數(shù)）時(shí)，請(qǐng)給出計(jì)算勾股數(shù)的一組公式. 問(wèn)題3. 怎樣說(shuō)明滿足所給公式的三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)？ 問(wèn)題4. 在表2中，a為大于4的

6、偶數(shù)，正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系是_______,b、c與a2之間的關(guān)系式是___________. 根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出勾股數(shù)（16，____,_____）. 問(wèn)題5 一般地，當(dāng)a=2n（n>1為正整數(shù)）時(shí)，請(qǐng)給出計(jì)算勾股數(shù)的一組公式. 問(wèn)題6. 怎樣說(shuō)明滿足所給公式的三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分類、觀察發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在歸規(guī)律，進(jìn)而對(duì)勾股數(shù)進(jìn)行深入探索，并對(duì)公式給出證明，體現(xiàn)新知獲得過(guò)程要符合科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。 交流： 表1和表2的一些數(shù)據(jù)之間有沒(méi)有什么聯(lián)系？你還能找出其他的計(jì)算勾股數(shù)的公式嗎？ 問(wèn)題7. 說(shuō)明當(dāng)（a,b,c）是

7、勾股數(shù)時(shí)，（ka,kb,kc）也是勾股數(shù)，其中k為正整數(shù)。 問(wèn)題8. 已知 其中，、為正整數(shù)，、、是勾股數(shù)嗎？為什么？ 交流：通過(guò)以上這些探究過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 設(shè)計(jì)意圖：由簡(jiǎn)單的勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，了解勾股數(shù)的常見(jiàn)幾種計(jì)算公式，并體會(huì)勾股數(shù)的計(jì)算公式有很多，這些公式都是的特列或者變形，滲透了轉(zhuǎn)化思想. 活動(dòng)三（拓展延伸） 問(wèn)題1. 現(xiàn)在你能幫考古學(xué)家將表格中缺失的數(shù)據(jù)補(bǔ)齊嗎？ 問(wèn)題2. 你有多少種不同的填法？ 設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用探索出來(lái)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)有多種填法，并讓學(xué)生體會(huì)到探究的價(jià)值. 問(wèn)

8、題3. 你認(rèn)為含“9”的勾股數(shù)有多少組？應(yīng)該怎么去繼續(xù)探究？ 設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題、升華思維，尋找新的方法，由前面幾組公式的驗(yàn)證，希望學(xué)生能體會(huì)到勾股數(shù)的計(jì)算公式最終都是滿足，要想解決此問(wèn)題，只要對(duì)公式進(jìn)行變形利用，“9”是公式中的“a”或“c”也要分類討論進(jìn)行研究，若“9”是“c”，則問(wèn)題好解決；若“9”是“a”，實(shí)際上問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成“”，最后轉(zhuǎn)化成“81”的因數(shù)和方程組問(wèn)題。這一探索再次讓學(xué)生感受到分類討論思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（此部分只是讓學(xué)生有所了解，不是本節(jié)課的重點(diǎn).） 三、小結(jié)與思考 通過(guò)今天的學(xué)習(xí)你有怎樣的收獲？ 相

9、關(guān)知識(shí)拓展： 勾股數(shù)的很多有趣的性質(zhì)： 1. 勾股數(shù)中的額三個(gè)數(shù)不能全是奇數(shù). 2. 勾股數(shù)里的三個(gè)數(shù)要么全是偶數(shù)，要么只有一個(gè)偶數(shù). 3. 大于2的任何一個(gè)整數(shù)都可以作為直角三角形的一條邊長(zhǎng). 4. 如果一組勾股數(shù)中兩個(gè)較大的數(shù)組相差1，那么這兩個(gè)數(shù)的和就是第三個(gè)數(shù)的平方. 5. 如果兩個(gè)較大的數(shù)相差2，那么這兩個(gè)數(shù)中間所夾的整數(shù)是第三個(gè)數(shù)的一般的平方. 6. 所有的勾股數(shù)中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，至少有一個(gè)是4的倍數(shù)，至少有一個(gè)是5的倍數(shù). 課后嘗試與創(chuàng)新： 問(wèn)題1. 是否存在這樣的這樣的4個(gè)整數(shù)、、、滿足？你能進(jìn)行一番探索嗎？試試看. 問(wèn)題2. 如圖1，已知四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，AC為對(duì)角線，則有,即AB、BC、AC滿足勾股定理.如圖2， 是長(zhǎng)方體，圖1中的 線段AB、BC、AC分別對(duì)應(yīng)圖2中的面 、、.若長(zhǎng)方體 的面、、的面積分別用、、表示，則是否有仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由. 4 / 4