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1、數(shù)值分析 能夠做什么？ Introduction第1頁/共62頁 研究使用計算機求解各種科學與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進行評估，以及如何在計算機上實現(xiàn)求解等。 數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學與工程計算、信息科學、管理科學、生命科學等交叉學科中有著廣泛的應用第2頁/共62頁應用問題舉例應用問題舉例第3頁/共62頁263234323923zyxzyxzyx今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分
2、斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算術1、一個兩千年前的例子第4頁/共62頁nnnnnnaaaaaaaaa212222111211bxAnnbbbxxx2121第5頁/共62頁2 2、天體力學中的、天體力學中的KeplerKepler方程方程x是行星運動的軌道，它是時間t 的函數(shù).sin0,01xxt 第6頁/共62頁全球定位系統(tǒng)：全球定位系統(tǒng)：在地球的任何在地球的任何一個位置，至一個位置，至少可以同時收少可以同時收到到4 4顆以上衛(wèi)星顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號發(fā)射的信號 3、全球定位系統(tǒng)（全球定位系統(tǒng)（Global Positioning Global Positioning System,G
3、PS)System,GPS)第7頁/共62頁02468051002468圖 7.8HeightS6S3S4S2S1RS5N-S positions 表示地球上一個接收點R的當前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組( , , )x y z t(,)iiiixyzt222111122222222223333222444422255552226666()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)xxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzz0c第
4、8頁/共62頁11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xx( )0F x 記為其中，:,nnF DRR12( ,)Tnxx xx第9頁/共62頁4 4、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（深度（M M） 466 741 950 1422 1634466 741 950 1422 1634水溫（水溫（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500500
5、米，米，600600米，米，10001000米米）處的水溫）處的水溫第10頁/共62頁5 5、用比較簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)、用比較簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最?。ㄔ诓煌亩攘恳饬x下）第11頁/共62頁6 6、人口預測、人口預測 下面給出的是中國下面給出的是中國19001900年到年到20002000年的人口數(shù)，年的人口數(shù)，我們的目標是預測未來我們的目標是預測未來的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時）時）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743432231ttty30/ )1979( ts43223
6、1sssy第12頁/共62頁第13頁/共62頁7 7、鋁制波紋瓦的長度問題、鋁制波紋瓦的長度問題 建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2英寸為一個周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.第14頁/共62頁 這個問題就是要求由函數(shù)這個問題就是要求由函數(shù)給定的給定的曲線從曲線從x x=0=0到到x x=48=48英寸間的弧長英寸間的弧長L.L. 由微積分學我們知道由微積分學我們知道, ,所求的弧長可表示為所求的弧長可表示為: :dxxdxxfL48024802)(cos1)(1上述積分稱為第二
7、類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.第15頁/共62頁第16頁/共62頁理論研究科學實驗科學計算計算數(shù)學 現(xiàn)代科學研究的三大支柱第17頁/共62頁第18頁/共62頁建立數(shù)學模型選取計算方法編寫上機程序計算得出結果第19頁/共62頁一、計算數(shù)學的產(chǎn)生和早期發(fā)展計算數(shù)學是數(shù)學的一個古老的分支，雖然數(shù)學不僅僅是計算，但推動數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的最直接原因還是。 二、二十世紀計算數(shù)學的發(fā)展數(shù)值代數(shù) 最優(yōu)化計算 數(shù)值逼近 計算幾何 概率統(tǒng)計計算 蒙特卡羅方法 微分方程的數(shù)值解法 微分方程的反演問題 第20頁/共62頁數(shù)值代數(shù)：方程求根、線性方程組求解、 特征值和特征向量的計算、 非線性方程組的求解；數(shù)值逼近：
8、插值與函數(shù)逼近、數(shù)值微分 和積分、 最小二乘法；微分方程數(shù)值解：常微分方程數(shù)值解； 偏微分方程數(shù)值解： 差分法 有限元法 有限體積法三、數(shù)值計算的主要內(nèi)容第21頁/共62頁&教材數(shù)值分析(21世紀數(shù)學系列教材) 李慶揚等（華中科技大學出版社） &參考書目 數(shù)值計算方法 徐濤 編著 （吉林科學技術出版社） 應用數(shù)值方法 使用MATLAB和C語言 Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （機械工業(yè)出版社） 數(shù)值分析基礎教程 李慶揚 編 （高等教育出版社） 現(xiàn)代數(shù)值分析 李慶揚、易大義、王能超 編著 （高等教育出版社） 數(shù)值分析與科學計算 Jeffery J.Lea
9、der 著，張威，劉志軍，李艷紅等譯，（清華大學出版社) 第22頁/共62頁一、算法的概念 描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語言和數(shù)學語言加以敘述，也可以借助形式語言（算法語言）給出精確的說明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。 定義：由基本運算及運算順序的規(guī)定所構成的完整的 解題步驟，稱為。第23頁/共62頁例：求解二元一次聯(lián)立方程組22221211212111bxaxabxaxa用行列式解法：首先判別12212211aaaaD （1）如果 ，則令計算機計算 0D , 1222211DababxDababx2111122輸出計算的結果x1，x2。（2）如果D= 0，則或是無解，或有
10、無窮多組解。是否為零，存在兩種可能：第24頁/共62頁12212211Daaaa令通過求解過程，可以總結出算法步驟如下：S2 計算12212211DaaaaS3 如果0D 則輸出原方程無解或有無窮多組解的信息;否則0D D1212112babax D2121221babaxS1 輸入2122211211,bbaaaaS4 輸出計算的結果21,xx第25頁/共62頁輸入2122211211,bbaaaa D=a11a22-a12a21D=0開始DababxDababx/ )(/ )(21111221222211輸出 x1, x2 結 束 No輸出無解信息Yes第26頁/共62頁二、算法優(yōu)劣的判別
11、 計算量的大小 存貯量 邏輯結構例：用行列式解法求解線性方程組: n階方程組，要計算n + 1個n階行列式的值， 總共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法運算。 n=20 需要運算多少次？n=100?第27頁/共62頁一、誤差的來源與分類 從實際問題中抽象出數(shù)學模型 模型誤差例:質量為m的物體，在重力作用下,自由下落， 其下落距離s 與時間t 的關系是： 22dsmm gd t其中 g 為重力加速度。第28頁/共62頁 通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差 求近似解 方法誤差 (截斷誤差）例如，當函數(shù) f x 用Taylor多項式 ( )200001!2!nnnfffPxfxxx
12、n 近似代替時，數(shù)值方法的截斷誤差是 (1)1(1)!nnnnfRxf xPxxn 與0之間。在x第29頁/共62頁機器字長有限 舍入誤差 用計算機、計算器和筆算，都只能用有限位 = 3.1415926 小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：10.33333第30頁/共62頁四舍五入后0000074. 01416. 31000033. 0333. 031238.12350.00005x在數(shù)值計算方法中，主要研究和（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對計算結果的影響！第31頁/共62頁二、 誤差的概念1、絕對誤差與絕對誤差限*)(xxxe例 :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，
13、大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值 的,簡稱為。 x定義：設 是準確值，為 的一個近似值，稱 x*xx第32頁/共62頁*xxx*xx e x*xxx*,xxx*x第33頁/共62頁2、相對誤差與相對誤差限定義：設 是準確值， 是近似值，是近似值的誤差，x*x通常取為近似值 的，記作 ，*re*x*e*exxxx稱*rexxexx第34頁/共62頁事實上，當 較小時*reex 22*1exxeexeexxx xxxeex是 的二次方項級,故可忽略不計.*re相應地，若正數(shù)r滿足*rxxx 則稱 為 的相對誤差限。rx第35頁/共62頁3 、有效數(shù)
14、字定義：如果nxx1021*則說 近似表示 準確到小數(shù)后第 位，并從這由上述定義410211416. 35102114159. 3*xxn第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。n第36頁/共62頁定義 :1*112101010nmnxaaa *也即，若*11102mnxx 有 位有效數(shù)字。n*x其中， 是1到9中的一個數(shù)字； 是0到9中一個數(shù)字； 為整數(shù)，且 1a2naam若近似值 的誤差限是某一位的半個單位,*x該位到 的左邊第一位非零數(shù)字共有 位,*xn就說 有 位有效數(shù)字。*xn第37頁/共62頁取 作 的近似值， 就有三位有效數(shù)字；*3.14x *x取
15、 作 的近似值， 就有五位有效數(shù)字。*3.1416x *x第38頁/共62頁4 、誤差限與有效數(shù)字的關系 則 至少具有 位有效數(shù)字。Th1.1： *xn對于用 式表示的近似數(shù) ，若 具有 位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，若 的相對誤差限為 *xn*x1*11102nra *x1*11102(1)nra 第39頁/共62頁Th1.2： *1210.10mnnxx xx x設反之,若 的相對誤差的絕對值大于 ，*x1102n其中 為整數(shù), 為正整數(shù), 。n10 x m有 位有效數(shù)字。n則 至多*x若 至多有 位有效數(shù)字,即 是有效數(shù)字,nx*xn而 不是有效數(shù)字,1nx則 的相對誤差的絕對值必大
16、于 ;11102n *x第40頁/共62頁證明：1nx不是有效數(shù)字 反之,若 則 *1102nrxxx *rxxx 1*1102m nx 1110210m nm 11102n *1102nxxx1110102nm11102m n 11102mn1nx不是有效數(shù)字， 即 至多有 位有效數(shù)字. *xn第41頁/共62頁、*1x*2x*1x*2x*1212xxxx *121221x xxxxx*1221*1222*2/0 xxxxxxxx第42頁/共62頁、當自變量有誤差時，計算函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差，其誤差限可利用函數(shù)的Taylor展開式進行估計。設 是一元函數(shù)， 的近似值為 ,以 近似 ，其誤差限記
17、作 ，可用Taylor展開 f xx*x*f x f x*f x 2*2ff xf xfxxxxx *, x x *2*2ff xf xfxxx 第43頁/共62頁假定 與 的比值不太大,可忽略 的高階項,于是可得計算函數(shù)的誤差限為*fx*fx*x *f xfxx 當 為多元函數(shù)時計算 ,如果f12,nAf x xx12,nx xx的近似值為 ,則 的近似為*12,nx xxA*12,nAf xxx于是函數(shù)值 的誤差 由Taylor展開,*A*e A第44頁/共62頁*1;nkkkfAxx*A*1.kkrrkkAxfAxAA *1212,nne AAAf x xxf x xx*12*11,nn
18、nkkkkkkkf x xxfxxexx第45頁/共62頁l*110lmd*80dm*0.2llm*0.1ddmSld *,SSSldld*80 ,110 ,SSdmlmld,SSSlddlld第46頁/共62頁 *0.2 ,0.1 ,lmdm*2280 0.2 110 0.127;Smm*270.31.8800rSSSl dS第47頁/共62頁1.要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法例：求10(0,1,2,8)5nnxIdx nx解：由于nxxxxIInnnnn1dxdn5551011011初值)2 . 1ln(5ln6lndx51100 xI第48頁/共62頁遞推公式)8, 2, 1(,51)2 . 1l
19、n(10nInIInn按公式就可以逐步算出09. 05101II05. 052112II083. 053123II165. 054134II025. 155145II952. 456156II注意此公式精確成立What happened?!不穩(wěn)定的算法 ！第49頁/共62頁由題設中的遞推公式可看出， 的誤差擴大了1nI5倍后傳給 ，因而初值 的誤差對以后各步nI0I這就造成 的計算結果嚴重失真。4I計算結果的影響，隨著 的增大愈來愈嚴重。n第50頁/共62頁可求得I9 0.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設I9 I10，于是由10951501II) 1 , 1,( 51511nnkIkIk
20、knIInn151將公式變?yōu)榈?1頁/共62頁I8 0.019 I7 0.021I6 0.024 I8 0.028I4 0.034 I3 0.043I2 0.058 I1 0.088I0 0.182 穩(wěn)定的算法 ！ 在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。第52頁/共62頁2.要避免兩個相近的數(shù)相減在數(shù)值計算中，兩個相近的數(shù)作減法時有效數(shù)字會損失。例: 求xxy1的值。當x = 1000，y 的準確值為0.01580 (1)、直接相減02. 062.3164.3110001001y第53頁/共62頁類似地 yxyxlnlnln2sin2cos2sin)sin(
21、xxx(2) 將原式改寫為xxxxy111則 y = 0.01581 第54頁/共62頁3.盡量避免絕對值太小的數(shù)作分母例：2 .2718001. 07182. 2如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時1 .24710011. 07182. 22718.22471.1247.1第55頁/共62頁4. 避免大數(shù)吃小數(shù)精確解為110291 x,x 算法1：利用求根公式aacbbx242010) 110(992xx第56頁/共62頁在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1
22、 = 0.0000000001 1010，取單精度時就成為： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010024,102422921aacbbxaacbbx第57頁/共62頁算法2：先解出9211024)( aacbbsignbx再利用11010991221 xacxacxx求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 109第58頁/共62頁5. 簡化計算步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為 exp ,例：多項式求值：給定的x 求下列n 次多
23、項式的值。 nnxaxaxaaxP2210)(解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐項求和法；3. 秦九韶方法；第59頁/共62頁算法的遞推性計算機上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個復雜的計算過程歸結為簡單過程的多次重復。這種重復在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點是簡化結構和節(jié)省計算量。第60頁/共62頁例：用秦九韶方法求多項式543200833. 004167. 016667. 05 . 01)(xxxxxxP解： Ka5-KvK00.008330.00833v0 = a510.041670.04v1 = v0 x+a420.166670.15867v2 = v1x+a330.50.46827v3 = v2x+a2410.90635v4 = v3x+a1510.81873v5 = v4x+a0第61頁/共62頁感謝您的觀看！第62頁/共62頁
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