高考數學大二輪刷題首選卷理數文檔：第一部分 考點二十三 不等式選講 Word版含解析

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1、 考點二十三　不等式選講 解答題 1．已知函數f(x)＝|x－1|－|x＋2|. (1)求不等式－22|m－n|. 解　(1)依題意，f(x)＝|x－1|－|x＋2| ＝ 由－2<－2x－1<0，解得－0， 所以|1－4mn|2>4|m－n|2，故|1－4mn|>2|m－n|. 2．已知f(x

2、)＝|x－2|－|x－a|. (1)當a＝－4時，解不等式f(x)<1； (2)當a＝4時，求直線y＝x－2與函數f(x)的圖象圍成的平面圖形的面積． 解　(1)當a＝－4時，f(x)＝|x－2|－|x＋4|<1， ∴ 解得x>2或－

3、＝kx－2與函數f(x)的圖象有公共點，求k的取值范圍． 解　(1)由f(x)≤2，得或 或解得0≤x≤5， 故不等式f(x)≤2的解集為[0,5]． (2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 作出函數f(x)的圖象，如圖所示，直線y＝kx－2過定點C(0，－2)，當此直線經過點B(4，0)時，k＝； 當此直線與直線AD平行時，k＝－2. 故由圖可知，k∈(－∞，－2)∪. 4．(2019·河北石家莊二模)設函數f(x)＝|x－2|＋|2x－a|. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3的解集； (2)當f(x)＝|x－a＋2|時，求實數x的取值范圍． 解　(1)

4、當a＝1時， f(x)＝|x－2|＋|2x－1|＝ 不等式f(x)≥3可化為 或或 解得不等式的解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)由絕對值的三角不等式，可得 f(x)＝|x－2|＋|2x－a|≥|2x－a－(x－2)| ＝|x－a＋2|， 當且僅當(2x－a)(x－2)≤0時，取“＝”， 所以當a≤4時，x的取值范圍為≤x≤2； 當a>4時，x的取值范圍為2≤x≤. 5．(2019·河南八市聯考)已知函數f(x)＝m|x－1|. (1)若m＝1，求不等式f(x)≤x2＋1的解集； (2)當x∈(0,1)時，不等式f(x)

5、(1)由題意，不等式|x－1|≤x2＋1，可得－x2－1≤x－1≤x2＋1， 即解得x≤－1或x≥0， 所以不等式的解集為{x|x≤－1或x≥0}． (2)因為00，即m>－， 又因為g(x)＝－在(0,1)是增函數， 所以g(x)<－1，所以m≥－1. 6．(2019·廣東潮州二模)已知f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)<6的解集； (2)設m，n，p為正實數，且m＋n＋p＝f(3)，求證：mn＋np＋pm≤12. 解　(1)①當x≥2時，f(x

6、)＝2x－4＋x＋1＝3x－3， 由f(x)<6，∴3x－3<6，∴x<3，即2≤x<3. ②當－1－1，即－1－1，無解， 綜上，不等式f(x)<6的解集為(－1,3)． (2)證明：∵f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|，∴f(3)＝6， ∴m＋n＋p＝f(3)＝6，且m，n，p為正實數， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np＝36， ∵m2＋n2≥2mn，m

7、2＋p2≥2mp，n2＋p2≥2np， ∴m2＋n2＋p2≥mn＋mp＋np， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np≥3(mn＋mp＋np)， 又m，n，p為正實數，∴mn＋np＋pm≤12. 解答題 1．(2019·湖南長郡中學一模)已知函數f(x)＝|x－a|＋|2x－1|. (1)當a＝1時，求f(x)≤2的解集； (2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求實數a的取值范圍． 解　(1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|， f(x)≤2?|x－1|＋|2x－1|≤2， 可化為或 或 解得或或 ∴0≤x≤或

8、≤x≤， ∴原不等式的解集為. (2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合， ∴當x∈時，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立， 即|x－a|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立， ∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2， ∴－2≤x－a≤2， ∴x－2≤a≤x＋2在x∈上恒成立， ∴(x－2)max≤a≤(x＋2)min， ∴－1≤a≤，∴a的取值范圍是. 2．(2019·河南許昌、洛陽第三次質檢)已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)當a＝－1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)

9、成立，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝－1時原不等式可化為|x＋1|－2|x|≥－1， 設φ(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 則或或 即－≤x≤2. ∴原不等式的解集為. (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立， 等價于|x＋1|≥2|x|＋a有解， 由(1)即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max， 由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)單調遞增，在[0，＋∞)單調遞減． ∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1. 3．已知函數f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|，g(x)＝|4x－1|－|x＋2|. (1)求不等式g(x)<6的解集； (2)若存在x1，

10、x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互為相反數，求a的取值范圍． 解　(1)∵g(x)＝ 當x≤－2時，－3x＋3<6， 解得x>－1，此時無解， 當－2－，即－時，3x－3<6， 解得x<3，即

11、3a＋1|≤，解得－≤a≤. 故a的取值范圍為. 4．設函數f(x)＝|2x＋a|－(x∈R，實數a>0)． (1)當a＝1時，求不等式f(x)<0的解集； (2)函數f(x)的最小值為m，求證：m5－1≤m3－m2. 解　(1)當a＝1時，f(x)＝|2x＋1|－<0， 即|2x＋1|<， 兩邊平方可得(2x＋1)2<2， 解得x∈. 故原不等式的解集為. (2)證明：f(x)＝ 所以f(x)在上為減函數，在上為增函數， f(x)的最小值m＝f ＝－≤－2＝－1，當且僅當＝即a＝1時取等號． 所以m3＋1≤0，m2－1≥0， 所以m5－1－(m3－m2)＝m3(

12、m2－1)－1＋m2＝(m3＋1)(m2－1)≤0.所以m5－1≤m3－m2. 5．(2019·安徽皖南八校第三次聯考)已知函數f(x)＝|3x－2|－|2x－3|. (1)求不等式f(x)>x的解集； (2)若關于x的不等式f(x)<2a2＋a恰有3個整數解，求實數a的取值范圍． 解　(1)由題意，函數f(x)＝|3x－2|－|2x－3|， 得f(x)＝ 因為f(x)>x，所以當x≤時，－x－1>x， 即x<－；當x，即x，即x≥. 所以不等式f(x)>x的解集為∪. (2)由(1)知f(x)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，又

13、f(－2)＝1，f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0，f(2)＝3， 所以0<2a2＋a≤1，所以－1≤a<－或0