精修版貴州省貴陽市九年級數(shù)學(xué)競賽講座 08第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個時期：以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號體系形成的常量數(shù)學(xué)時期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時期；以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期． 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運動變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動態(tài)和它們的相互制約性． 函數(shù)的基本知識有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法． 在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點的坐標(biāo)找點和由點求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”

2、相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點的坐標(biāo)是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵，所以，求點的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題． 【例題求解】 【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A(2，2)，B(2，-3)，點P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點P的個數(shù)為 ． (河南省競賽題) 思路點撥 先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點，連結(jié)AB，因題設(shè)中未指明△APB的哪個角是直角，故應(yīng)分別就∠A、∠B、∠C為直角來討論，設(shè)點P(0，x)，運用幾何知識建立x的方程． 注： 點的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點的坐標(biāo)的基

3、本方法有： (1)利用幾何計算求； (2)通過解析式求； (3)解由解析式聯(lián)立的方程組求． 【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的( ) 思路點撥 向燒杯注水需要時間，并且水槽中水面上升高． 注： 實際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來，如心電圖、，股市行情走勢圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善

4、于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢等有關(guān)信息中獲得啟示． 【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售，共有飛機(jī)、火車、汽車三種運輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示： 運輸工具 途中速度(千米／時) 途中費用(元／千米) 裝卸費用(元) 裝卸時間(小時) 飛機(jī) 200 16 1000 2 火車 100 4 2000 4 汽車 50 8 1000 2 若這批水果在運輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時，記A、B兩市間的距離為x千米． (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、

5、汽車運輸時的總支出費用(包括損耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式． (2)應(yīng)采用哪種運輸方式，才使運輸時的總支出費用最小? (湖北省黃岡市中考題) 思路點撥 每種運輸工具總支出費用＝途中所需費用(含裝卸費用)+損耗費用；總支出費用隨距離變化而變化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過討論選擇最佳運輸方式． 【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標(biāo)為(2，8)．

6、 (1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系； (2)寫出A、B兩點的坐標(biāo)； (3)設(shè)菱形ABCD的對角線交點為P．問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． (江蘇省常州市中考題) 思路點撥 (1)關(guān)鍵是探求點A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點，只須判斷∠COy與∠CAD的大?。?2)利用解直角三角形求A，B兩點坐標(biāo)；(3)設(shè)軸上存在點F(0，y)，則P與F只可能關(guān)于直線DC對稱．

7、 注：建立函數(shù)關(guān)系式，實際上都是根據(jù)具體的實際問題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型． 【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點，若P為AB邊上的一個動點，PQ∥BC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y． (1)當(dāng)AP＝3cm時，求的值； (2)設(shè)AP=cm時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)y=2cm2，試確定點P的位置．(2001年天津市中考題) 思路點撥 對于(2)，由于點

8、P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系，故需分類討論；對于(3)，由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值． 注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識與方法把相應(yīng)線段用自變量表示，再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是： (1)當(dāng)圖形運動導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論； (2)確定自變量的幾何意義，常用到運動變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1． 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請寫出這些直角三角形未知頂點的坐標(biāo) ．

9、 (貴州省中考題) 2．在直角坐標(biāo)系中有兩點A(4，0)，B(0，2)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點C的坐標(biāo)為 時，使得由點B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標(biāo))． (廣西桂林市中考題) 3．根據(jù)指令(S≥0，0°

10、向，(1)若給機(jī)器人下了一個指令，則機(jī)器人應(yīng)移動到點 ；(2)請你給機(jī)器人下一個指令 ，使其移動到點(一5，5)． (浙江省杭州市中考題) 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸的夾角為60°，且點A的坐標(biāo)為(一2，0)，點B在x軸上方，設(shè)AB＝，那么點B的橫坐標(biāo)為( ) A． B． C． D． (年南昌市中考題)

11、 5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發(fā)．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時間(分鐘的關(guān)系)(從爸爸開始登山時計時)，根據(jù)圖象，下列說法錯誤的是( ) A．爸爸登山時，小軍已走了50米 B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面 C．小軍比爸爸晚到山頂 D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快 (江蘇省淮安市中考題) 6．若函數(shù)的自變量的取值

12、范圍為一切實數(shù)，則的取值范圍是( ) A．ml D．m≤1 7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A(4，0)、點B(0，3)，若有一個直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請寫出這個直角三角形未知頂點的坐標(biāo)(不必寫出計算過程)． (常州市中考題) 8．如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題： （1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為，請寫出與(表示第個圖形)的函數(shù)關(guān)系式；

13、 (2)按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時的值； (3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(2)中，共需花多少元錢購買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請通過計算說明為什么? (吉林省中考題) 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個正方形ABCD，它的4個頂點為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個整點(即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點)． (

14、上海市初中數(shù)學(xué)競賽題) 10．如圖，已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點在第一象限內(nèi)，OA與軸的夾角為30°，那么點B的坐標(biāo)是 ． 11．如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一分鐘內(nèi)它從原點運動到(1，0)，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動1個單位長度，那么在1989分鐘后這個粒子所處位置為 ． (美國高中數(shù)學(xué)考試題) 12．在直角坐標(biāo)系中，已知A(1，1)，在軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( ) A．1個 B．2個 C． 3個

15、 D．4個 (2001年湖北賽區(qū)選拔賽題) 13．已知點P的坐標(biāo)是(l，)，這里、是有理數(shù)，PA、PB分別是點P到軸和軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為，則P點可能出現(xiàn)的象限有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (江蘇省競賽題) 14．甲、乙二人同時從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi

16、的圖示分析為( ) A．圖(1) B．圖(1)或圖(2) C．圖(3) D．圖(4) (河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題) 15．依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)．《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)交稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅，詳細(xì)的稅率如下表： 級別 全月應(yīng)納稅所得額 稅率(％) 1 不超過500元部分 5 2 超過500元至2

17、000元部分 10 3 超過2000元至5000元部分 15 … … (1)某公民2002年10月的總收人為1350元，問他應(yīng)交稅款多少元? (2)設(shè)表示每月收入(單位：元)，表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)1300

18、垂線與△ABC的直角邊相交于E，設(shè)AD=，△ADE的面積為，當(dāng)點D在AB上移動時，求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式． 17．現(xiàn)計劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費用6000元，使用月型車廂每節(jié)費用為8000元． (1)設(shè)運送這批貨物的總費用為萬元，這列貨車掛A型車廂節(jié)，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車廂的方案?

19、(3)在上述方案中，哪個方案運費最高?最少運費為多少元? (廣州市中考題) 18．如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點，A、B、C的坐標(biāo)分別為(14，0)，(14，3)，(4，3)．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動． (1)設(shè)從出發(fā)起運動了秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)； (2)設(shè)從出發(fā)起運動了秒，如果點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，①試用含的代數(shù)式表示這時點Q所經(jīng)過的路程和它的速度；②試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能，求出相應(yīng)的的值和P、Q的坐標(biāo)；如不可能，請說明理由． (蘇州市中考題) 參考答案 最新精品資料